Система - штейнер
Cтраница 1
 |
Двойственность между гексадами и дуадами. [1] |
Система Штейнера 5 ( 5 6, 12) получается из 11 легких гексад дополнением до О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и сложением тех гексад, сумма которых снова гексада. Код Голея & и порождается соответствующими 1 1 октадами вместе с универсальным множеством. [2]
Система Штейнера 5 ( 2, / С, / С ( 2 / С - 1)) известна для / С 3, 5, 6, 7 или 2, однако только для К 2, 3, 5, 7 известно, что такие системы обладают регулярными абелевыми группами автоморфизмов. В случае, когда схема разрешима, в качестве требуемого множества для переключения можно выбрать К параллельных классов. [3]
Система Штейнера 5 ( 2, / С, / С ( 2 / ( - 1)) известна для К - 3, 5, 6, 7 или 2, однако только для К. В случае, когда схема разрешима, в качестве требуемого множества для переключения можно выбрать К. [4]
Рассмотрим, наконец, системы Штейнера для групп Матье. [5]
Предположим, что имеется система Штейнера 8 ( 2, К. Если мы рассмотрим граф на множестве блоков и добавим изолированную точку, то получим граф, который содержится в переключательном классе некоторого регулярного два-графа. Соответствующая матрица Адамара является симметрической с постоянной диагональю, однако не регулярна ( как утверждается в [ 72, стр. [6]
Октады, построенные по 24, образуют систему Штейнера 5 ( 5, 8, 24) ( разд. Очень важно научиться определять октаду по ее 5 заданным точкам. Эта задача легко сводится к 3-задачам и 5-задачам, если заметить, что изменение счета в данном столбце достигается заменой по крайней мере одной точки в столбце и по крайней мере двух точек, если к тому же требуется сохранить четность столбца. [7]
Последнее утверждение теоремы 9 гласит, что октады образуют систему Штейнера 5 ( 5 8 24) ( разд. [8]
В этой главе содержится детальное описание двоичного кода Голея длины 24, системы Штейнера 5 ( 5, 8, 24) и группы Матье М24 Вычислительными средствами, облегчающими вычисления с этими объектами, являются MOG ( Miracle Octad Generator - чудесный генератор октад) и гексакод. [9]
В некоторых случаях эти условия также и достаточны ( например, для систем Штейнера 5 ( 2, 3, u) v 5 ( 2, 4, и), 5 ( 2, 5, v) и 5 ( 3, 4, и)), но это не всегда так. В общем случае точные условия существования tf - схем неизвестны. Дальнейшая информация о - схемах содержится в [ Ass 2 ] - [ Ass 4 ], [ Cam 2 ], [ На13 ], [ Hani ], [ Han 2 ], [ Hug 2 ], [ Hug3 ], [ Jacl ], [ Lan5 ], [ Lin3 ], [ Mac 6, гл. [10]
Главы 10 и 11 посвящены изучению кодов Голея длин 12 и 24, связанных с ними систем Штейнера 5 ( 5 6 12) и 5 ( 5 8 24), и их групп автоморфизмов М 2 и М2л - MINIMOG, MOG ( или Чудесный генератор октад), а также тетракод и гексакод являются техническими средствами, позволяющими легко производить вычисления с этими объектами. В этих двух главах также изучается ряд связанных с этим групп, в частности группа автоморфизмов Со0 ( или-0) решетки Лича. [11]
Кроме отмеченных пяти проблем есть еще несколько тем, которые мы всегда имеем в виду, это - коды, исправляющие ошибки, системы Штейнера и t - схемы, а также теория конечных групп. Лича теснейшим образом связаны с этими темами, и мы довольно подробно изучаем эту связь. При этом встречаются многие спорадические простые группы, и мы посвящаем целую главу Монстру ( или Дружественному гиганту) - простой группе, конструкция которой существенно опирается на свойства решетки Лича. [12]
Фиксируя любую из 24 точек ( скажем, точку оо), мы получим максимальную подгруппу М2з, которую иначе можно определить как стабилизатор системы Штейнера 5 ( 4 7 23), 253 геп-тады которого получаются удалением оо из всех октад системы 5 ( 5 8 24), содержащих ее. [13]
По определению группа автоморфизмов системы S ( k, m, / z) - это подгруппа в 2 ( Q), элементы которой переставляют между собой подмножества из системы Штейнера. [14]
Тетрады системы Штейнера 5 ( 3 4 10) ( см. разд. Добавляя нулевое слово и пять кодовых слов веса 8, можно получить несколько различных ( 10, 36, 4) - кодов. [15]
Страницы: 1 2