Cтраница 1
Разрешающие системы дифференциальных уравнений и функционалы развиваемой здесь дискретно-континуальной теории получим проекционным и вариационным методами. Представим первый из них следующим образом. [1]
Исходные данные для получения разрешающей системы дифференциальных уравнений (5.9) имеют следующий вид. [2]
Это связано со спецификой разрешающей системы дифференциальных уравнений, для которой возможны быстро-возрастающие и быстрозатухающие решения, а также с неизбежными погрешностями округления при вычислении на ЭВМ. При большом участке инте - грирования, если не применяются специальные приемы, векторы решений в со при расчете на ЭВМ могут стать практически линейно зависимыми или вычисляться недостаточно точно. Длину участка интегрирования необходимо выбирать, ориентируясь на собственные значения матрицы разрешающей системы и соответствующие длины зон краевых эффектов. [3]
Исходные данные для получения разрешающей системы дифференциальных уравнений (4.9) имеют следующий вид. [4]
Это связано со спецификой разрешающей системы дифференциальных уравнений, для которой возможны быстровозрастающие и быстрозатухающие решения, а также с неизбежными погрешностями округления при вычислении на ЭВМ. При большом участке интегрирования, если не применяются специальные приемы, векторы решений в ш при расчете на ЭВМ могут стать практически линейно зависимыми или будут вычисляться недостаточно точно. По этой причине метод начальных параметров, который часто используется при расчете стержней, для моментных оболочек применяется редко. Длину участка интегрирования необходимо выбирать, ориентируясь на собственные значения матрицы разрешающей системы А. [5]
Отличие матрицы канонической системы (4.143) от матрицы разрешающей системы дифференциальных уравнений для решения задачи статики (4.133) заключается в вычислении для блока [ Аг 1 матрицы [ S, ] [ см. (4.141) ], в которую входит искомый параметр Л ( параметр нагружения) для решения задачи устойчивости или со2 ( квадрат угловой частоты) для решения задачи колебаний. Система дифференциальных уравнений (4.143) позволяет для тонкой многослойной оболочки вращения решать задачи устойчивости и определять критический параметр нагружения. [6]
Уравнения (3.56), дополненные соотношениями упругости (3.54), представляют полную разрешающую систему дифференциальных уравнений. [7]
В работах [1, 5] предложена схема рулонированной стенки сосуда, основанная на усреднении свойств навивки, показан путь идеализации, приводящий к схематизации стенки трехслойным цилиндром, а также исходные уравнения и полученная с их помощью разрешающая система дифференциальных уравнений, записанная в нормальной форме. При этом жесткостные характеристики слоя, схематизирующего навивку, представлены в общем виде, чем предусмотрена возможность различных вариантов усреднения. [8]
Все представленные выше аппроксимирующие функции в силу непрерывности по г обеспечивают сопряжение отдельных слоев по напряжениям сдвига, а функции распределения перемещений (4.197) - геометрические условия стыковки отдельных слоев. Порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений не зависит от числа слоев оболочки, а также от числа коэффициентов, аппроксимирующих напряжения. [9]
Все представленные выше аппроксимирующие функции в силу непрерывности по г обеспечивают сопряжение отдельных слоев по напряжениям сдвига, а функции распределения перемещений (4.197) - геометрические условия стыковки отдельных слоев. Порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений не зависит от числа слоев оболочки, а также от числа коэффициентов, аппроксимирующих напряжения. [10]
Выбор такой системы определяется деформативными и геометрическими параметрами слоя и является достаточно широким - гипотеза о жесткой нормали, гипотеза прямой линии, гипотеза о линейном или нелинейном распределении всех компонент вектора перемещений по толщине слоя и др. В рамках этого подхода удается достаточно точно аппроксимировать поле перемещений для каждого слоя и описать тонкие эффекты [111, 115, 165], связанные с локальными особенностями деформирования отдельных слоев оболочки. Следует отметить, что порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений при таком подходе зависит от числа слоев оболочки и быстро растет при увеличении этого числа, что ограничивает возможности ее практического использования. Кроме того, не всегда оказывается возможным удовлетворить условиям межслоевого контакта по поперечным касательным напряжениям. Отметим, наконец, что всякое изменение структуры пакета слоев требует изменения системы гипотез и, следовательно, модификации разрешающей системы дифференциальных уравнений и пересмотра процедуры ее численного интегрирования, что вносит в расчет дополнительные трудности. Возможно, поэтому в литературе практически отсутствуют публикации численных исследований напряженно-деформированного состояния многослойных оболочек ( с числом слоев больше трех), выполненных в такой постановке. [11]
В работе [11.12] показано, что использование кинематической гипотезы типа Тимошенко не приводит к недопустимым погрешностям при расчете радиальных шин, особенно при определении таких интегральных характеристик, как усилия в нитях корда. Вместе с тем эта гипотеза в отдельных случаях качественно неверно описывает напряженно-деформированное состояние металлокордных радиальных шин в зоне окончания брекера и бортовой части. При таком подходе порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений зависит от числа слоев, что позволяет исследовать тонкие эффекты, связанные с локальным характером деформирования слоев. [12]
Варианты основных уравнений, относящиеся к данному направлению теории слоистых пластин и оболочек и установленные разными авторами, можно разделить на три группы. Здесь уравнения равновесия пластин и оболочек устанавливаются без использования вариационных принципов по следующей схеме. Тем самым остается неустановленной система внутренних обобщенных усилий и моментов, соответствующая принятой геометрической модели. Математически это проявляется в заниженном порядке разрешающей системы дифференциальных уравнений, что не позволяет удовлетворить необходимому числу краевых условий и приводит к существенным погрешностям в определении напряженного состояния оболочки, особенно в зонах краевых закреплений. [13]
Выбор такой системы определяется деформативными и геометрическими параметрами слоя и является достаточно широким - гипотеза о жесткой нормали, гипотеза прямой линии, гипотеза о линейном или нелинейном распределении всех компонент вектора перемещений по толщине слоя и др. В рамках этого подхода удается достаточно точно аппроксимировать поле перемещений для каждого слоя и описать тонкие эффекты [111, 115, 165], связанные с локальными особенностями деформирования отдельных слоев оболочки. Следует отметить, что порядок разрешающей системы дифференциальных уравнений при таком подходе зависит от числа слоев оболочки и быстро растет при увеличении этого числа, что ограничивает возможности ее практического использования. Кроме того, не всегда оказывается возможным удовлетворить условиям межслоевого контакта по поперечным касательным напряжениям. Отметим, наконец, что всякое изменение структуры пакета слоев требует изменения системы гипотез и, следовательно, модификации разрешающей системы дифференциальных уравнений и пересмотра процедуры ее численного интегрирования, что вносит в расчет дополнительные трудности. Возможно, поэтому в литературе практически отсутствуют публикации численных исследований напряженно-деформированного состояния многослойных оболочек ( с числом слоев больше трех), выполненных в такой постановке. [14]
Все рассмотренные работы основаны на линейных теориях слоя. Трудности решения задач в соответствии с этими теориями возрастают пропорционально числу слоев. Контактное давление исключено из числа искомых функций с помощью связи по Винклеру с поперечным обжатием, выраженным через разность прогибов соседних слоев. Представление искомой вектор-функции слоя суммой произведений новых неизвестных, зависящих от координат точек срединной поверхности пакета, на полиномы дискретного аргумента ( аппликаты поверхности отсчета слоя) позволило получить разрешающие системы дифференциальных уравнений, порядок которых не зависит от числа слоев. Термин континуальная теория в названиях работ [119, 120] неудачен, его следовало бы заменить на дискретно-континуальная теория, поскольку зависимость искомых вектор-функций от номера слоя в этой-теории описана ортоиормированной системой полиномов дискретного аргумента. Предложенный в [119] итеративный процесс одновременно уточняет границы зон контакта и уменьшает невязку нелинейных уравнений равновесия оболочек. [15]