Cтраница 1
Произвольные системы линейных уравнений легче всего решаются методами исключения с применением обращения матриц. Итерационные методы эффективны лишь в том случае, если матрицы содержат много нулевых элементов. [1]
Мы переходим к изучению произвольных систем линейных уравнений, причем уже не делаем предположения, что число уравнений системы равно числу неизвестных. Наши результаты будут, впрочем, применимы и к тому случаю ( оставленному в § 7 без рассмотрения), когда число уравнений равно числу неизвестных, но определитель системы равен нулю. [2]
Такие же три случая возможны и при решении произвольной системы линейных уравнений. [3]
В нижеследующей теореме формулируется необходимое и достаточное условие совместности произвольной системы линейных уравнений. [4]
Из дальнейшего будет видно, что аналогичные три случая имеют место и при решении произвольной системы линейных уравнений. [5]
В настоящем параграфе будет указан другой подход к рассматриваемому вопросу; одновременно мы значительно приблизимся к нашей основной цели - - решению произвольных систем линейных уравнений. [6]
Крамера, применим только для особых систем линейных уравнений, в которых количество неизвестных совпадает с количеством уравнений. Метод Гаусса применим для решения произвольных систем линейных уравнений и, следовательно, является универсальным методом. Этот метод позволяет существенно упростить и сам процесс поиска решений, если все промежуточные преобразования осуществить над специальной матрицей В. [7]
Матричный способ решения систем линейных уравнений, как и решение методом Крамера, применим только для особых систем линейных уравнений, в которых количество неизвестных совпадает с количеством уравнений. Метод Гаусса применим для решения произвольных систем линейных уравнений и, следовательно, является универсальным методом. Этот метод позволяет существенно упростить и сам процесс поиска решений, если все промежуточные преобразования осуществить над специальной матрицей В, составленной из коэффициентов системы ( 27) и ее свободных членов. [8]
Матричный способ решения систем линейных уравнений, как и решение методом Крамера, применим только для особых систем линейных уравнений, в которых количество неизвестных совпадает с количеством уравнений. Метод Гаусса применим для решения произвольных систем линейных уравнений и, следовательно, является универсальным методом. Этот метод позволяет существенно упростить и сам процесс поиска решений, если все промежуточные преобразования осуществить над специальной матрицей В составленной из коэффициентов системы ( 27) и ее свободных членов. [9]
В предыдущем параграфе нами исследованы системы линейных уравнений, у которых число неизвестных совпадает с числом уравнений и определитель которых не равен нулю. Теперь мы должны перейти к исследованию и решению произвольных систем линейных уравнений. Однако предварительно нам надо будет познакомиться с некоторыми сведениями, относящимися к теории прямоугольных матриц. Это отступление обусловлено тем, что произвольная система линейных уравнений ( см. ( 1) из § 7) с точностью до обозначения неизвестных вполне определяется таблицей коэффициентов при неизвестных и свободными членами, и поэтому свойства системы должны проявляться в свойствах соответствующей матрицы. [10]
Поскольку такое представление существует не только для системы вида (1.2), а для произвольной системы линейных уравнений и неравенств, то и методы декомпозиции можно изложить применительно к задачам, где вместо систем (1.2) и (1.3) фигурируют системы уравнений и неравенств в произвольной форме. Можно, конечно, задачу свести и к форме (1.2) - (1.3), но такой необходимости нет. Просто в прямом методе для проверки условий оптимальности (1.11) - (1.12) мы будем искать минимум формы (1.15) при ограничениях специальной задачи в той форме, в какой она поставлена. [11]
Эта теорема есть просто хорошо известное условие разрешимости системы линейных уравнений над каким-либо полем. Заметим, что аналогичного условия существования 0 - 1-решения или неотрицательного целочисленного решения для произвольной системы линейных уравнений не известно. [12]
В теории систем линейных уравнений существенную роль играет понятие ранга матрицы. Именно в терминах ранга в § 11 и будет сформулировано необходимое и достаточное условие для совместности произвольной системы линейных уравнений. [13]
В предыдущем параграфе нами исследованы системы линейных уравнений, у которых число неизвестных совпадает с числом уравнений и определитель которых не равен нулю. Теперь мы должны перейти к исследованию и решению произвольных систем линейных уравнений. Однако предварительно нам надо будет познакомиться с некоторыми сведениями, относящимися к теории прямоугольных матриц. Это отступление обусловлено тем, что произвольная система линейных уравнений ( см. ( 1) из § 7) с точностью до обозначения неизвестных вполне определяется таблицей коэффициентов при неизвестных и свободными членами, и поэтому свойства системы должны проявляться в свойствах соответствующей матрицы. [14]