Cтраница 1
Общая линейная система, однородная относительно операторов дифференцирования. [1]
Рассмотренная выше общая линейная система является невырожденной ( т - 0) вследствие несоизмеримости частот. [2]
Изучается задача Коши для общих линейных систем уравнений с частными производными в классах аналитических функций. Описаны системы, для которых задача Коши корректна а классах функций экспоненциального типа. Выяснена необходимость условий Ковалевской н установлена связь между теорией Кошн-Ковалевской н экспоненциальной теорией. Изучаются псевдодифференциальные операторы с комплексными аргументами. Даны приложения к задачам математической физики. [3]
В дальнейшем аналогичные вопросы будут изучены для общих линейных систем с переменными коэффициентами. [4]
Заметим еще, что в следующем параграфе приведен метод сведения общих линейных систем интегральных уравнений 2-го рода и, в частности, линейных систем интегральных уравнений 2-го рода с карлемановскими матричными ядрами к эквивалентной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений 2-го рода, а также методы приближенного решения указанных систем интегральных уравнений, основанные на этом сведении. [5]
Доказательство этой теоремы достаточно громоздко и его приводить не будем13), так как оно мало что дает в приложении рассматриваемой теории к решению задач теории управления. Тем не менее следует особо подчеркнуть, что практически каждый результат теории общих линейных систем опирается на сформулированную теорему. [6]
Задача об устойчивости линейных гамильтоновых систем обладает рядом специфических особенностей по сравнению с задачей об устойчивости общих линейных систем, рассмотренных в предыдущем пункте. Эти особенности вытекают из теоремы Ляпунова-Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. [7]
Пусть в системе ( 3) матрица Н является непрерывной 2л - периодической по t, вещественной симметрической матрицей. Задача об устойчивости линейных гамнльтоповых систем обладает рядом специфических особенностей по сравнению с задачей об устойчивости общих линейных систем, рассмотренных в предыдущем пункте. Эти особенности вытекают из теоремы Ляпунова - Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. [8]
Мы хотим устанавливать не только точное соответствие исходных коэффициентов вырожденной задаче, а должны также знать, не является ли рассматриваемая задача плохо поставленной; это имеет место в случае, когда задача становится вырожденной при вариациях исходных данных в пределах точности их значений. В почти вырожденных случаях особенно полезен метод, состоящий из выравнивания, частичной перестановки с образованием LU-разложения и последовательности итерационных уточнений решения. Мы отсылаем к Уилкинсону [ Wilkinson, 1963, 1965 ] за подробностями, связанными с этим методом решения общих линейных систем; там же можно найти детали, касающиеся анализа ошибок. Главной частью этого изощренного метода является / - / - разложение матрицы коэффициентов (4.1), которое используется для построения последовательности векторов, аппроксимирующих решение. Итерационный процесс сходится геометрически и для стабильных хорошо обусловленных задач и для многих плохо обусловленных задач, которые так часто встречаются при вычислении аппроксимаций Паде. Если итерации сходятся плохо, то почти определенно можно заключить, что решение обусловлено ошибками округления и соответствует вырожденной аппроксимации. Численные характеристики процесса позволяют лучше отличить плохо обусловленную, но невырожденную задачу от вырожденной. [9]