Cтраница 1
Скручивания Дена являются весьма частным случаем гомеоморфизмов поверхностей, причем устроены они сравнительно просто. Тем не менее, во многих случаях вместо гомеоморфизмов общего вида достаточно рассмотреть этот узкий класс гомеоморфизмов. [1]
Задача 12.2. Докажите, что скручивание Дена вдоль меридиана тора не изотопно тождественному гомеоморфизму. [2]
Любой сохраняющий ориентацию гомеоморфизм поверхности Sg изотонически эквивалентен произведению скручиваний Дена. [3]
Для AI ответ для симплектоморфизмов во всех размерностях положителен: существует симплектическое скручивание Дена. Для АЪ в случае кривых тоже есть явная конструкция. Фоку, для особенностей кривых А представления в гомеоморфизмы слоя не существует. [4]
Любой сохраняющий ориентацию гомеоморфизм ориентируемой двумерной поверхности без края можно представить в виде композиции скручиваний Дена и гомеоморфизмов, изотопных тождественному гомеоморфизму. [5]
Рассмотрим гомеоморфизм / - 1 / о - Разберем сначала случай, когда этот гомеоморфизм изотопен скручиванию Дена вдоль некоторой кривой у. Напомним, что сфера S3 была склеена из двух экземпляров Mf и М23 тела с д ручками. [6]
В случае произвольного гомеоморфизма / нужно воспользоваться теоремой Дена Ликориша и представить гомеоморфизм / - ] / о в виде композиции скручиваний Дена. Для этих скручиваний мы аналогичным образом выбираем соответствующие им полнотория Ti и строим гомеоморфное отображение S3 U Ti на М3 U Т (, как это делалось выше. При этом нужно лишь позаботиться, чтобы полнотория Ti попарно не пересекались. [7]
В самом деле, по условию гомеоморфизм j дМ - дМ3 изотопен гомеоморфизму / - / Oi поэтому гомеоморфизм / оЗ - г дМ - дМ % изотопен / of / 1 / о 1 /, а при склейке по изотопным гомеоморфизмам получаются гомеоморфные многообразия. Итак, мы доказали требуемое утверждение в случае, когда склеивающий гомеоморфизм для М3 отличается от склеивающего гомеоморфизма для S3 на одно скручивание Дена. [8]
При гомеоморфизме h: F - F меридиан mi переходит в кривую h ( mi), не разбивающую F. Согласно лемме 13.3 существует огомеоморфизм Д, переводящий h ( mi) в тг. Кривая mj разбивает свою е-окрестность V на две части t / i и Uz - Тал как гомеоморфизм f [ h сохраняет ориентацию и тождествен на mj, то он переводит точки [ /, близкие к mi, в точки внутри Ui - Это означает, что если мы разрежем F вдоль кривой mi, то гомеоморфизм f ( h будет гомеоморфизмом полученной поверхности, тождественным на ее крае. После д таких разрезаний получим гомеоморфизм f f [ h круга с дырками, тождественный на крае. Согласно теореме 7.6 этот гомеоморфизм изотопен композиции скручиваний Дена, а значит, гомеоморфизм h тоже изотопен композиции скручиваний Дена. [9]
При гомеоморфизме h: F - F меридиан mi переходит в кривую h ( mi), не разбивающую F. Согласно лемме 13.3 существует огомеоморфизм Д, переводящий h ( mi) в тг. Кривая mj разбивает свою е-окрестность V на две части t / i и Uz - Тал как гомеоморфизм f [ h сохраняет ориентацию и тождествен на mj, то он переводит точки [ /, близкие к mi, в точки внутри Ui - Это означает, что если мы разрежем F вдоль кривой mi, то гомеоморфизм f ( h будет гомеоморфизмом полученной поверхности, тождественным на ее крае. После д таких разрезаний получим гомеоморфизм f f [ h круга с дырками, тождественный на крае. Согласно теореме 7.6 этот гомеоморфизм изотопен композиции скручиваний Дена, а значит, гомеоморфизм h тоже изотопен композиции скручиваний Дена. [10]