Cтраница 1
Бесконечные антагонистические игры ( как и все антагонистические игры) задаются путем указания пространств А и В стратегий двух игроков и функций выигрыша Н на произведении А х В. [1]
Для бесконечных антагонистических игр даже существование смешанных экстремумов (1.2), вообще говоря, не обязательно имеет место. [2]
Для бесконечных антагонистических игр введение аналогичных смешанных стратегий также окажется достаточно плодотворным, хотя, как можно показать, существуют бесконечные антагонистические игры, не имеющие ситуаций равновесия ( и даже ситуаций е-равновесия при достаточно малом е 0) даже в смешанных стратегиях. [3]
Под бесконечной антагонистической игрой мы будем понимать такую антагонистическую игру, в которой хотя бы один игрок имеет бесконечное множество стратегий. [4]
Пусть в бесконечной антагонистической игре функция выигрышей М ( х, у) непрерывная для х е [0; 1], у Е [0; 1] и М ( х у) - Л / ( у, х тогда цена игры равна нулю и любая оптимальная стратегия одного игрока будет также оптимальной стратегией другого игрока. [5]
Известно [20, 28, 57], что решение бесконечной антагонистической игры в общем случае может существовать в смешанном расширении. Однако введение смешанного расширения не составляет тривиальную задачу: вероятностные меры задаются на сг-алгебрах подмножеств множества элементарных событий ( на борелевских полях); сг-алгебра содержит счетное число подмножеств вместе с любыми их объединениями. Отсюда непосредственно следует выход на сепарабельность множеств X и Y. Далее, F ( x y ] как функция, заданная на X х У, должна быть вещественной измеримой, так как в противном случае невозможно будет гарантировать существование решения рассматриваемой игры как в чистых, так и в смешанных стратегиях. [6]
Задача 4.4. Доказать, что для бесконечной антагонистической игры, имеющей решение, ни одна строго доминируемая стратегия игрока не входит в спектр его оптимальной стратегии. [7]
Таким образом, для реализации в бесконечной антагонистической игре принципа максимина необходимо, как и в случае конечной ( матричной) игры, некоторое расширение стратегических возможностей игроков. [8]
В связи со смешанными стратегиями в бесконечных антагонистических играх можно сформулировать и доказать утверждения, аналогичные тем, которые в связи со смешанными стратегиями в матричных играх были приведены в § 9 гл. [9]
Никаких общих методов для точного нахождения решений бесконечных антагонистических игр, и в том числе непрерывных игр на единичном квадрате, пока не найдено. Известны только отдельные индивидуальные приемы, годные лишь для тех или иных сравнительно узких классов игр. Один из таких классов составляют антагонистические игры с выпуклыми функциями выигрыша. Они представляют также известный при - кладной интерес. Далее мы рассмотрим несколько примеров таких выпуклых игр. [10]
Для бесконечных антагонистических игр введение аналогичных смешанных стратегий также окажется достаточно плодотворным, хотя, как можно показать, существуют бесконечные антагонистические игры, не имеющие ситуаций равновесия ( и даже ситуаций е-равновесия при достаточно малом е 0) даже в смешанных стратегиях. [11]
Максиминный принцип поведения игроков не зависит от мощности множеств стратегий игроков. Поэтому переход от матричных игр к бесконечным антагонистическим играм никаких концептуальных, чисто теоретико-игровых трудностей не вызывает. [12]
Мы видим, что в статье фон Неймана содержится большинство фундаментальных идей современной теории стратегических игр, и историю теории игр следует начинать именно с нее. Единственным исключением является уже упоминавшаяся работа Билля [1], содержащая упрощенное доказательство теоремы о минимаксе и полученное на основе исследования игр типа покера распространение ее на случай игр с бесконечными множествами стратегий. В частности, в ней доказывается, что всякая бесконечная антагонистическая игра, в которой множество стратегий каждого игрока является единичным сегментом ( такие игры теперь принято называть играми на единичном квадрате), а функция выигрыша непрерывна, имеет значение в смешанных стратегиях. [13]
В нашей стране интерес к ТЕОРИИ ИГР проявился сравнительно недавно, но сейчас число лиц, занимающихся ею или ее приложениями, быстро возрастает. В настоящее время учебные планы предусматривают обучение студентов в области теории оптимального управления, в частности, управления конфликтными процессами. Спецкурсы по ТЕОРИИ ИГР читаются практически во всех университетах, а также во всех экономических вузах страны. В связи с этим растет потребность в литературе по ТЕОРИИ ИГР на русском языке. Книга представляет собой краткое и сравнительно элементарное учебное пособие, пригодное как для первоначального, так и для углубленного изучения ТЕОРИИ ИГР. Она охватывает большинство современных направлений ТЕОРИИ ИГР, в частности, рассмотрены конечные и бесконечные антагонистические игры, многошаговые игры, бескоалиционные и кооперативные игры, дифференциальные игры. [14]