Cтраница 1
Следование тройки ABC в одном направлении исключает следование ее в противоположном направлении. [1]
Определим следование тройки при наличии в ней одной бесконечно удаленной точки, которую обозна-чим Q. Мы будем говорить, что тройка ABQ следует в первом из указанных направлений, если АВ, и во втором, если ВА. Тройка ДОС следует в первом на правлении, если ЛС, и во втором, если АС. Тройка QSC следует в первом направлении, если 5С, и во втором, если ВС. [2]
Определим следование троек прямых пучка через следование точек пересечения прямых пучка с какой-нибудь прямой, не проходящей через центр пучка. Это определение не зависит от выбора секущей прямой по аксиоме Из. Определив таким образом следование прямых в пучке, мы видим, что для прямых в пучке выполняются все аксиомы порядка. [3]
Определим теперь отношение следования троек точек на прямой и проверим выполнимость аксиом порядка. [4]
Следовательно, установление порядка следования троек в аналитической реализации есть просто восстановление следования троек проективной прямой через отношение следования для пар точек на аффинной прямой. [5]
Таким образом, мы определили следование троек точек на каждой прямой, не являющейся бесконечно удаленной. Следование троек на бесконечно удаленной прямой мы определяем через проектирование на какую-нибудь конечную прямую. [6]
Следовательно, установление порядка следования троек в аналитической реализации есть просто восстановление следования троек проективной прямой через отношение следования для пар точек на аффинной прямой. [7]
Таким образом, мы определили следование троек точек на каждой прямой, не являющейся бесконечно удаленной. Следование троек на бесконечно удаленной прямой мы определяем через проектирование на какую-нибудь конечную прямую. [8]
Чтобы убедиться в том, что это дей ствительно так, заметим прежде всего, что отношения следования пар точек на прямых в обоих реализациях после удаления бесконечно удаленных точек находятся в соответствии. И поэтому остается только показать, что установление порядка следования троек в аналитической реализации формально совпадает с восстановлением порядка следования троек на проективной прямой через порядок следования пар точек на аффинной прямой. [9]
Чтобы убедиться в том, что это дей ствительно так, заметим прежде всего, что отношения следования пар точек на прямых в обоих реализациях после удаления бесконечно удаленных точек находятся в соответствии. И поэтому остается только показать, что установление порядка следования троек в аналитической реализации формально совпадает с восстановлением порядка следования троек на проективной прямой через порядок следования пар точек на аффинной прямой. [10]
Назовем прямую 30 бесконечно удаленной, а ее точки - бесконечно удаленными. В множестве конечных точек прямой может быть введено отношение еле - дования пар точек так, что выполняются все аксиомы порядка евклидовой геометрии. Теперь в терминах отношений порядка для следования пар точек мы определяем следование троек. [11]