Cтраница 1
Соответствующее бесконечное слово было построено независимо разными авторами: Туэ, Аршоном, Морсом. [1]
Периодичность бесконечного слова означает инвариантность относительно сдвига. В случае односторонней бесконечности возникает предпериод, а в конечном случае - эффекты, связанные с обрезанием. Именно это является ядром очень многих комбинаторных рассуждений. В качестве примера можно привести доказательство гипотезы Шестакова, теоремы о независимости, теоремы Ширшова о высоте, совпадения нильрадикала и радикала Джекобсона для мономиальных алгебр. Ниже собраны соответствующие часто используемые комбинаторные леммы. [2]
Теорема 3.9. Если бесконечное слово W периодично с периодом п, то алгебра AW первична и представима. Существует мономорфизм алгебры AW в алгебру ( п х п) - матриц над кольцом многочленов и эпиморфизм алгебры AW па алгебру ( п х п) - матриц над основным полем. [3]
Для числа подслов бесконечного слова можно утверждать следующее. [4]
А, называются бесконечными словами в алфавите А. [5]
Техника периодичности в бесконечных словах позволяет получить несколько более сильный результат. [6]
Чрезвычайно важным является понятие равномерно рекуррентного бесконечного слова W: для всякого натурального k существует N N ( k) такое, что любой конечный кусок сверхслова W длины k содержится в любом его куске длины N. [7]
Нам будет также удобно иметь дело с бесконечными словами. При этом мы можем рассматривать как слова, бесконечные в обе стороны, так и односторонние, растущие только вправо. [8]
В исследовании собственно мономиальных алгебр важную роль играет понятие равномерно рекуррентного бесконечного слова. С его помощью описывается нильрадикал мономиальной алгебры и доказывается теорема о совпадении нильрадикала и радикала Джекобсона. [9]
Предложение 5.21. а) Минимальная размерность нениль-потентного представления мономиальной алгебры ( не обязательно автоматной или PI) равна минимально возможной длине периода в бесконечном слове из этой алгебры. [10]
Тогда бесконечное слово, построенное в соответствии с теоремой 1 пункта 6.2, обладает тем свойством, что не содержит кубов и подслов вида и и2и где и и и - правильные слова. Не содержит оно также и подслов вида ViV2v3V4, где Vi ] v2 [ v3 V4 - правильные. Интересно, однако, что любое бесконечное слово содержит подслово вида ViVzV, где Vi &V2 & УЗ - правильные. [11]
Глава 1 в основном посвящена бесконечным словам и равномерно рекуррентным словам. Леммы, доказанные здесь, затем многократно используются. Кроме того, рассматривается рост в словах и алгебрах. [12]
Такая последовательность называется кратчайшей, если ш - и ( w -, wi i) - l для всех i. В этом случае элемент w можно представить как бесконечное слово в алфавите 2, которое на каждом конечном шаге записано в кратчайшем виде или, эквивалентно, как путь в К ( G, 2) без возвращения. G, 2) представим кратчайшей последовательностью Коши. [13]
Куском, или подсловом, v слова W мы называем набор символов, встречающихся в W, идущих подряд. Через W мы обозначаем множество всех конечных подслов бесконечного слова W. Запись W ZI W означает, что W D Wi Wi 3 W % означает, что W D 1 2 1 - В первом случае мы говорим, что W богаче кусками, чем Wz, во втором - что не беднее кусками. Два слова U и V называются эквивалентными, U - V, если они имеют одинаковые конечные полслова, т.е. U V. Понятия не богаче кусками, беднее кусками определяются аналогично. [14]
& Х, и предположим, что множество X линейно упорядочено. Рассмотрим некоторую конечную систему Y порождающих алгебры С, и пусть z - наибольшее бесконечное слово среди всех слов и00, где и пробегает все отличные от 1 одночлены, входящие с ненулевыми коэффициентами в Y. Тогда YAZ, следовательно, С s Az, и отображение /: Аг - Az / Iz k [ v ] нетривиально на С. [15]