Cтраница 1
Идеалы булевой алгебры находятся во взаимно однозначном соответствии с ее конгруэнциями. [1]
Идеалы булевой алгебры В образуют относительно теоретико-множественного включения полную дистрибутивную решетку, изоморфную решетке Con В конгруэнции на В. [2]
Идеал U булевой алгебры А называется максимальным, если он не содержится в большем идеале, отличном от А. Алгебра А называется простой, если в ней нет ненулевых собственных идеалов. А называется полупростой, если пересечение всех максимальных идеалов из А совпадает с нулем. [3]
Идеалом булевой алгебры В называется ее подмножество /, которое 1) включает в себя нуль, 2) замкнуто относительно объединения, 3) вместе с каждым своим элементом а содержит все элементы из В, содержащиеся в а. Последнее условие часто заменяют следующим, равносильным ему: 3) если ае / и х В, то ax L Например, нижний конус av любого элемента a e В является идеалом. Это - главный идеал, порожденный элементом а. Все идеалы булевой алгебры В будут главными тогда и только тогда, когда В конечна. [4]
Идеалом булевой алгебры проекторов В называется подмножество D сг В, удовлетворяющее следующим условиям: а) если Е 6 D, F. Идеал D называется плотным, если любой элемент из В является объединением элементов из D. Идеал D, содержащий объединение любого счетного числа проекторов из D, называется о-идеалом. [5]
Все идеалы булевой алгебры В имеют вид av, где а. [6]
Все идеалы булевой алгебры являются главными тогда и только тогда, когда она конечна. [7]
Определим теперь идеал булевой алгебры. [8]
Допустим теперь, что U - идеал булевой алгебры Я и 3 ( /) а U для каждого a U. [9]
Доказательство третьего утверждения основано на следующем замечании: каждый идеал булевой алгебры содержится в некотором максимальном идеале. Это замечание доказывается с помощью теоретико-множественной аксиомы выбора и по существу ей эквивалентно. [10]
А) Класс А всех таких подмножеств А множества X, что Л тп, является m - идеалом булевой алгебры всех подмножеств множества X. Множество V всех множеств вида X - Л, где Л - т, является т-фильт-ром этой булевой алгебры. [11]
Подмножество U булевой алгебры А является идеалом этой алгебры тогда и только тогда, когда U есть идеал соответствующего булева кольца. Каждый идеал U булевой алгебры А определяет конгруэнцию р по правилу: apb - ab аЪ е U. Каждая конгруэнция в А реализуется таким образом. [12]
Идеалом булевой алгебры В называется ее подмножество /, которое 1) включает в себя нуль, 2) замкнуто относительно объединения, 3) вместе с каждым своим элементом а содержит все элементы из В, содержащиеся в а. Последнее условие часто заменяют следующим, равносильным ему: 3) если ае / и х В, то ax L Например, нижний конус av любого элемента a e В является идеалом. Это - главный идеал, порожденный элементом а. Все идеалы булевой алгебры В будут главными тогда и только тогда, когда В конечна. [13]
Гомоморфизмы булевых алгебр - это, как мы знаем, то же самое, что и гомоморфизмы соответствующих булевых колец. Это же относится и к конгруэнциям. Поэтому конгруэнцию булевой алгебры можно задать идеалом булева кольца. От идеалов булевых колец мы затем перейдем к идеалам булевых алгебр и свяжем последние с гомоморфизмами булевых алгебр. [14]
В частности, сама булева алгебра В и все ее идеалы будут В-модулями. Булева алгебра В конечна тогда и только тогда, когда каждый ее идеал как В-модуль инъективен в категории всех В-модулей, и полна в том и только том случае, когда все ее главные идеалы инъективны в этой категории. Модуль 5 над булевой алгеброй В инъективен в категории В-модулей тогда и только тогда, когда S - полная бесконечно Одистрибутив-ная решетка ( Фофанова Т. С. / / Сиб. Если В - полная булева алгебра, то каждый проективный В-модуль с единицей S также будет решеткой указанного вида. Всякий счетно порожденный идеал булевой алгебры В будет проективным объектом в категории В-модулей ( Фофанова Т. С. / / Упорядоченные множества и решетки. [15]