Cтраница 1
Случай кратных корней характеристического уравнения практически встречается редко и не требует применения особых методов иследования. Действительно, если среди корней характеристического уравнения встречается, например, корень кратности т, то т уравнений системы ( h) или ( о) предыдущего параграфа будут алгебраическими следствиями остальных уравнений. При этом можно определить N - m неизвестных через остальные т, которые могут быть выбраны произвольно. Конечно, эти неизвестные следует выбирать так, чтобы удовлетворялись условия ортогональности. [1]
В случае кратных корней характеристического уравнения отыскание общего решения системы ( 2) значительно сложнее. Этот вопрос в данном курсе не рассматривается. [2]
Наконец, в случае кратных корней характеристического уравнения следует различать две возможности. [3]
Эта теорема обобщается на случай кратных корней характеристического уравнения. [4]
Установим характер общего решения в случае кратных корней характеристического уравнения. [5]
Следовательно, параметрический резонанс может возникнуть и в случае кратных корней характеристического уравнения. [6]
Рассуждения, совершенно аналогичные предыдущим, мы будем иметь и для случая кратных корней характеристического уравнения. [7]
Отсутствие секулярных членов вида ( а) в общем решении дифференциальных уравнений малых колебаний в случае кратных корней характеристического уравнения объясняется тем, что эти уравнения порождаются двумя положительно определенными квадратичными формами - кинетической и потенциальной энергиями. В других случаях эти члены действительно появляются в общем решении системы дифференциальных уравнений. [8]
Нам предстоит получить общее решение линейного однородного уравнения Ln [ y ] О ( 1), как для случая однократных корней ( действительных и комплексных), так и для случая кратных корней характеристического уравнения. [9]
Произведенный анализ устанавливает существование нормальных координат, но не позволяет указать способы нахождения формул линейных преобразований ( II. Кроме этого, остается нерассмотренным случай кратных корней характеристического уравнения. [10]
В самом деле, подстановка указанных выражений для Xj ( t) и Уь ( 0 в среднюю часть цепочки равенств ( 19) показывает, что ( Xjt, У. И 0 такое произведение может быть постоянным, только будучи тождественно равным нулю, что и требовалось доказать. Эта ортогональность в сочетании с процессом ортого-нализации для случая кратных корней характеристического уравнения дает возможность построить биортого-нальные базисы в пространствах решений уравнений ( 1) и ( 17) и получить выражение для коэффициентов разложения ( 16) с помощью шимановских произведений начальной функции на экспоненциально-полиномиальные решения сопряженного уравнения. [11]
Второй раздел тома значительно беднее содержанием первого. Четвертая глава раздела содержит только примеры. Однако и в этом разделе можно найти немало поучительного. Так, например, по вопросам, рассмотренным в первой главе, изложение Эйлера остается, по-видимому, наиболее полным. В теории линейных уравнений с постоянными коэффициентами Эйлер не владел методом вариации произвольных постоянных, который был развит Лагранжем несколько позже выхода в свет Интегрального исчисления. Поэтому Эйлер строит теорию неоднородного уравнения особым образом, фактически независимо от теории однородного уравнения. Применяемый при этом метод последовательного понижения порядка уравнения, сходный с тем, каким впервые проинтегрировал однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами Иоганн Бернулли, для уравнений невысокого порядка может быть удобнее метода Лагранжа. И нельзя не сказать о единственном в своем роде месте в математической литературе ( см. третью главу, § 1164), где Эйлер излагает ошибочный способ решения ( в случае кратных корней характеристического уравнения) с том, чтобы потом, для пользы читателя, разъяснить характер допущенной им ошибки и лишь затем изложить верное решение. [12]