Cтраница 1
Конечномерный случай (4.46) легко сводится, как показано в разд. [1]
Конечномерный случай требует особого рассмотрения с применением топологических средств. [2]
Рассмотрим теперь конечномерный случай, когда опорных точек ( и опорных гиперплоскостей) может быть несколько. Ясно, что через вершину у / может проходить более одной опорной гиперплоскости. [3]
Чтобы прояснить естественную геометрическую структуру этих преобразований, рассмотрим сначала конечномерный случай. IRn) - такое операторно-значное отображение, что для каждого х оператор U ( x) ортогонален. Предположим, что это отображение достаточно регулярно, например, бесконечно дифференцируемо ( или, более общим образом, локально лип-шице. Преобразование F имеет свойство F (: r) x - Пусть / t 7 F-i) гДе 7 - стандартная гауссовская мера на IRn. В случае гладкого отображения это означает, что F - локальный диффеоморфизм. [4]
Результаты Ляпунова, соответствующие случаю одной степени свободы, были обобщены М. Г. Крейном 2 и В. А. Якубовичем 3 на любой конечномерный случай. [5]
Иногда ( особенно в математической литературе) понятие гильбертова пространства формулируется таким образом, что оно охватывает и конечномерный случай. [6]
При этом, как и в действительном случае, мы считаем эквивалентные меж: ду собой функции одним и тем же элементом пространства. Таким образом ( отбрасывая конечномерный случай), мы получаем, что комплексное пространство L2, отвечающее мере со счетным базисом, есть комплексное гильбертово пространство. Все такие пространства изоморфны между собой, и для них справедливы результаты, изложенные в § 4 гл. [7]
Книга написана очень продуманно, с большим педагогическим мастерством. Автору удалось сочетать элементарность изложения ( рассматривается только конечномерный случай) с глубиной и широтой охвата материала. Это делает его труд доступным и интересным как для математиков - от студентов до научных работников, так и для инженеров, экономистов и других специалистов-прикладников. [8]
Кроме этого, для данных конечномерных многообразий X, Y полезно ввести в множество всех дифференцируемых отображений многообразия X в Y структуру бесконечномерного многообразия. В этом направлении сверх формального перенесения конечномерных результатов можно получить результаты существенно новые, которые в свою очередь затрагивают конечномерный случай. [9]
При этом, как и в действительном случае, мы считаем эквивалентные между собой функции одним и тем же элементом пространства. Это пространство полно, а если мера ц имеет счетный базис, то и сепарабельно. Таким образом ( отбрасывая конечномерный случай), мы получаем, что комплексное пространство i2, отвечающее мере со счетным базисом, есть комплексное гильбертово пространство. Все такие пространства изоморфны между собой, и для них справедливы результаты, изложенные в § 4 гл. [10]