Cтраница 2
Следует отметить, что всюду ниже будут рассматриваться однородные марковские процессы. Неоднородный случай может быть рассмотрен аналогично. Кроме того, расширяя множество состояний процесса, можно привести неоднородный процесс к однородному. [16]
Но в дальнейшем нам предстоит анализировать спектр колебаний кристалла с дефектами, нарушающими пространственную однородность системы. Поэтому мы сейчас получим обобщение этих формул на неоднородный случай. [17]
Равновесное значение параметра порядка ( которое мы будем обозначать здесь как г /) определяется минимизацией соответствующего термодинамического потенциала. Имея в виду рассмотреть как пространственно-однородный, так и неоднородный случай, будем пользоваться потенциалом О - функцией температуры Т и химического потенциала л ( при заданном полном объеме тела) - ср. [18]
Изложим теперь без доказательства, как только что описанная процедура применяется к установлению асимптотического поведения решений общих рекуррентных линейных соотношений с постоянными коэффициентами. Мы начнем - с однородных соотношений, а затем обсудим неоднородный случай, когда к правой части добавляется постоянное слагаемое. [19]
Все это, наряду с возможностью обозримого математического анализа решения, делает рассмотрение АО моделей весьма важным. Вместе с тем уместно сразу предупредить об ограниченной применимости АО моделей к общему неоднородному случаю. Ведь в АО модели однородность уже предполагается. Общий же неоднородный случай должен быть гораздо сложнее. [20]
В этой главе рассматриваются нелинейные неравновесные процессы в пространственно однородных системах. Обычно такие процессы называют релаксационными процессами, чтобы подчеркнуть их отличие от процессов переноса в пространственно неоднородном случае. Отметим, однако, что процессы переноса часто протекают совместно с релаксационными, поэтому данную классификацию не следует понимать слишком буквально. Некоторые особенности процессов переноса мы обсудим в главах 8 и 9, посвященных статистической гидродинамике. [21]
Что касается систем линейных диофантовых приближений общего вида, то законы их решения совершенно не исследованы; это - одна из насущных задач теории. Случай однородный находит себе, правда, полное разрешение простым применением принципа D i r i с h I e t; но для неоднородного случая известна только основная теорема К г о n e с k e г а, устанавливающая принципиальные условия возможности решения данной системы в целых числах с любою степенью точности; порядок же величины получаемых решений в его зависимости от требуемой точности совершенно не исследован. [22]
Поэтому главный член энергии был мало чувствителен по отношению к выбору суммируемых цепочек. В неоднородном случае из-за линейного характера расходимости необходим правильный отбор цепочек и для вычисления главного члена. [23]
Здесь г, в - локальные полярные координаты с центром в конце трещины ( см. рис. 15), Кц - единственный внешний параметр, от которого зависит упругое поле вблизи конца трещины скольжения. Согласно (2.25) в частном случае однородного тела он совпадает с аналогичйым коэффициентом в [1], поэтому формулы (2.23) - (2.24) дают обобщение этого понятия на общий неоднородный случай. [24]
Вместе с тем, очевидно, что жесткие перемещения являются решениями однородных ( при е, 82 со 0) геометрических безмоментных уравнений. Отсюда следует, что, если EJ 82 со 0, то в решении геометрических безмоментных уравнений вида (14.14.2) коэффициенты при 1, cos ф и sin ф соответствуют смещениям срединной поверхности как жесткого целого. Эти величины в однородном случае ( при гг - е2 со 0) соответствуют жестким смещениям срединной поверхности и могут быть получены элементарно, а в неоднородном случае решение можно получить методом вариации постоянных. [25]
Все это, наряду с возможностью обозримого математического анализа решения, делает рассмотрение АО моделей весьма важным. Вместе с тем уместно сразу предупредить об ограниченной применимости АО моделей к общему неоднородному случаю. Ведь в АО модели однородность уже предполагается. Общий же неоднородный случай должен быть гораздо сложнее. [26]
Эта глава содержит смесь из разных приложений. В § 6.1 мы обсуждаем сингулярную задачу Штурма - Лиувилля. В § 6.2 развивается общая теория сингулярных возмущений неотрицательных операторов, которая в § 6.3 применяется к точечным, взаимодействиям, а в § 6.4 - к возмущениям с помощью функционалов локального времени и, в частности, к полимерным моделям. В § 6.5 мы излагаем нестандартный подход к уравнению Больцмана; среди прочих результатов здесь доказывается теорема существования в пространственно неоднородном случае. Наконец, § 6.6 содержит несколько замечаний о гиперконечной версии фейнмановского интеграла по траекториям. Объясняется, почему в этом случае не существует, вообще говоря, соответствующей меры Леба; однако, как отмечается, внутренняя мера на пространстве траекторий может быть использована для решения уравнения Шредингера и для обсуждения классического предела. [27]