Cтраница 1
Идея Римана развивается дальше. Существуют пространства размерности ( три или более), геометрия которых также меняется от точки к точке: искривленное пространство. Согласно Эйнштейну, обычное пространство - время имеет именно такую геометрию. Мы можем считать, что кривизна вызывается гравитационным полем вещества или же, наоборот, вещество и тяготение есть следствие искривления пространства. [1]
Таким образом, развитие, которое идеи Римана получили примерно за 35 лет ( с 1866 г. до начала текущего столетия), характеризуются двумя особенностями: во-первых, подавляющим преобладанием аналитических методов, а во-вторых, преобладанием геометрии Клейна и Ли над общим замыслом Римана На протяжении всего этого периода анализ служит геометрии. Это расцвет ее арифметизации, которая упирается, однако, в необычайную сложность аппарата, и руководящая идея тонет в море громоздких формальных вычислений. [2]
Зоммерфельд в своем Электричестве вспоминает, vro Вейерштрасс нашел идеи Римана непонятными, тогда как более интуитивный Гельмгольц схватил их сразу. [3]
Искривленные пространства - в том числе и многомерные - являющиеся в этом смысле локально евклидовыми, называются римановыми многообразиями В честь великого Бернгарда Римана ( 1826 - 1866), который первым исследовал такие пространства, опираясь в своих изысканиях на раннюю работу Гаусса, посвященную двумерному случаю. Здесь нам понадобится существенно модифицировать идеи Римана, вводя допущение о возможности замены локально евклидовой геометрии на геометрию Минковского. [4]
Изложенное здесь построение - воспроизведение гиперболической геометрии внутри круга на евклидовой плоскости - задумано Бельтрами и завершено Клейном. Оно получает другое освещение с точки зрения идеи Римана. [5]
Наряду с идеями Римана Плюккер выдвинул ту идею, что элементами пространства не обязательно должны быть точки ( 1865 г.), так что геометрия прямых линий в трехмерном пространстве может рассматриваться как четырехмерная геометрия или, как подчеркивал Клейн, как геометрия четырехмерной поверхности второго порядка в пятимерпом пространстве. [6]
Вейерштрасс привел примеры подобных вариационных задач, которые не имеют решения. Кроме того, Адамар ( Hadamard) [1] привел пример такой непрерывной функции, заданной на границе круга, которую невозможно распространить непрерывным образом на внутренность круга так, чтобы для получившейся функции v интеграл I ( v) не был расходящимся. Но ошибка Римана была одной из тех творческих ошибок, которые способствуют развитию науки. Позже она была исправлена, и на идее Римана было дано несколько новых решений задачи Дирихле. [7]
Лекция прочтена Р и м а н о м 10 июня 1854 г. в заседании философского факультета Геттингенского университета. В 1876 г. мемуар вошел в полное собр. Мемуар переведен на французский, английский, польский и русский языки. Русский перевод, принашзжащий Д. М. Сннцову, помещен в сборнике Об основаниях геометрии, выпущенном Казанским Физико-Математическим Обществом в 1893 г. В связи с интересом к идеям Римана, вызванным работами по теории относительности, Вейль выпустил вновь отдельное издание мемуара Римана, снабдив его многочисленными примечаниями. [8]
Риман построил теорию алгебраических функций одной переменной и интегралов от них - так называемых абелевых интегралов - с помощью трансцендентного метода, основанного на использовании принципа минимума в теории потенциала, названного Риманом принципом Дирихле, и вскрыл чисто топологическую основу разнообразных теоретике функциональных отношений, существующих в этой области. Строгое доказательство принципа Дирихле, столь очевидного с точки зрения физика было найдено Гильбертом лишь через пятьдесят лет. Оставалась нерешенной проблема - заменить и обосновать предложенные Риманом трансцендентные доказательства существования явными алгебраическими построениями, исходящими из уравнения алгебраической кривой. Вейерштрасс ( в своих лекциях, подробная запись которых была опубликована позднее) решил эту проблему в присущей ему наполовину функционально-теоретической, наполовину алгебраической манере, но Клебш ввел идеи Римана в геометрическую теорию алгебраических кривых, а после того как Клебш сравнительно молодым умер3, Нетер продолжил его дело: Максу Нетеру удалось возвести все здание алгебраической геометрии кривых на основе так называемой теоремы Нетера о вычетах. Позднее то же направление исследований было подхвачено и продолжено главным образом в Италии; жила, на которую напал Нетер, и поныне продолжает оставаться обильным источником исследований. Убедительным подтверждением тому могут служить работы находящихся среди нас Лефшеца и Зариского. Позднее наряду с трансцендентным методом Римана и алгебро-геометрическим методом Нетера возникла арифметическая теория алгебраических функций, созданная, с одной стороны, Дедекиндом и Вебером, а с другой - Гензелем и Ландсбергом. Именно к этому направлению примыкала и Эмми Нетер. Краткий обзор арифметической теории алгебраических функций, устанавливающий параллелизм соответствующих понятий в конкурирующих теориях, был опубликован Эмми Нетер в Ежегоднике немецкого математического общества ( Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung) за 1920 г. Этот обзор дополнил известный обзор Брилля и Макса Нетера по ал гебро-гео метрической теории, напечатанный в 1984 г. в одном из первых томов Ежегодника. [9]
Легко видеть, что уравнением Лагранжа-Эйлера для рассматриваемой вариационной задачи служит уравнение Лапласа. Поэтому если эта вариационная задача имеет решение, то оно и будет служить решением задачи Дирихле. Существование решения вариационной задачи Риман выводил из того, что множество значений интеграла / ( и) ограничено снизу, так как / ( v); 0 и потому имеет конечную нижнюю грань. Как потом показал Вейер-штрасс, это заключение Римана было неправильным; Вейерштрасс привел примеры подобных вариационных задач, которые не имеют решения. Кроме того, Адамар [1] привел пример такой непрерывной функции, заданной па границе круга, которую невозможно распространить непрерывным образом на внутренность круга так, чтобы для получившейся функции v интеграл / ( v) не был расходящимся. Но ошибка Римана была одной из тех творческих ошибок, которые способствуют развитию науки. Позже она была исправлена, и на идее Римана было дано несколько новых решений задачи Дирихле. [10]