Cтраница 2
Тем самым мы установили, что ( u ( x) v) &) w приблизительно равно u ( g) ( v ( w), за исключением тех случаев, когда происходит исчезновение или переполнение показателя. Эта интуитивная идея приблизительного равенства заслуживает более подробного изучения; можно ли разумным образом дать более точную формулировку этого утверждения. [16]
Возможно, он попытается выяснить, что мешало ему и что в конце концов помогло ему. Возможно, он обратит внимание на простые интуитивные идеи: нельзя ли усмотреть его ( результат) с одного взгляда. Он может применить различные методы: нельзя ли получить тот же результат иначе. Возможно, он попытается глубже понять данную задачу, сравнивая ее с ранее решенными задачами. Он может попытаться придумать новые задачи, которые сможет решить на основании только что завершенной работы: нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать полученный результат или метод решения. Как можно основательнее разобравшись во всех решенных им задачах, он сумеет приобрести упорядоченные, готовые к действию знания. [17]
Странных Петель в математических системах, принадлежащее К. Ге-делю, берет свое начало в простых и интуитивных идеях. [18]
Определение 1.4.1 позволяет развить элементарную теорию интегрирования. Упомянем один результат, который служит оправданием интуитивной идеи о вычислении интеграла путем взятия типичных бесконечно малых элементов и их суммирования. [19]
С геометрической точки зрения пути а и b эквивалентны тогда и только тогда, когда один из них можно непрерывно продеформировать в другой в пространстве X, не двигая концевые точки. Приведенное выше определение является формальной обработкой этой интуитивной идеи. [20]
Совсем недавно, вплоть до конца девятнадцатого столетия, математические теории обычно строились интуитивно или аксиоматически. Другими словами, они основывались либо па интуитивных идеях - идеях, почерпнутых из реальности, - относительно основных понятии теории, либо на свойствах этих понятий, выраженных системами аксиом. [21]
Теоретико-множественная, или общая, топология - это раздел геометрии, вобравший в себя формальные общие приемы исследования вопросов сходимости и непрерывности. Важная идея в геометрии - это идея использования криволинейных систем координат, приведшая в конечном итоге к тензорному анализу и теории инвариантов. Эта интуитивная идея изучения свойств геометрических объектов в большом привела к фундаментальному понятию многообразия, как обобщению понятия области евклидова пространства. [22]
В данном случае затруднения, как обычно, имели спектроскопическое происхождение. На каком основании можно утверждать, что эффекты Коттона в комплексах [ Со en2 ( NH2CHRCOO) ] n сравнимы, если R изменяется от СН3 в случае аланинового комплекса до СН2СН2СОО - или СН2СН2СООН в случае глутаматного комплекса, конфигурация которого известна. В данном случае интуитивная идея о том, что компоненты в спектрах расположены приблизительно в одинаковом порядке для всего ряда изучаемых комплексов, представляется вполне разумной, но она совершенно недостаточна. К счастью, существуют довольно серьезные химические доказательства [105], свидетельствующие в пользу принятого предположения. Поскольку в ходе реакции не происходило разрыва ни одной из связей с атомом кобальта, то и продукты, и исходные вещества должны иметь одинаковую спиральность лигандов вокруг кобальта. По крайней мере в данном ряду комплексы с аналогичными кривыми эффекта Кот-тона, соответствующими d - d - полосам, имеют одинаковую конфигурацию лигандов вокруг иона металла. [23]
Идея доказательства этой теоремы совершенно прозрачна. Разумеется, не существует способа придать разности % г - 4 смысл S О ( 3) - расслоения. Приведенное ниже доказательство, любезно предоставленное нам Ричардом Лашофом, ставит эту интуитивную идею на строгую основу. [24]
Фреге, и за ним Рассел надеялись ( 1) развить теорию натуральных чисел на твердой основе без обращения к интуитивной идее бесконечной итерации и ( 2) сделать математику частью логики. Мы убедились теперь, что ни одна из рассмотренных выше систем не позволяет надеяться на осуществление ( 2) - на поглощение математики логикой. В V и Z базис образуют сложные системы аксиом, в W, В и в меньшей степени в ( / существенную роль играет интуитивная идея итерации. [25]
Однако, когда имеют дело с непрерывной переменной х, значения которой заполняют целый интервал числовой оси, тогда возникает трудная задача объяснить, каким образом должен х приближаться к постоянному значению хг, чтобы х принимал друг за другом и в надлежащем порядке все значения упомянутого интервала. Точки прямой образуют плотное множество, и когда достигнута какая-то точка, то не существует ближайшей к ней точки. Интуитивная идея непрерывной величины и непрерывного течения совершенно естественна. Однако нельзя на нее ссылаться, когда хотят выяснить математическую ситуацию; между интуитивной идеей и математической формулировкой, призванной описать в точных выражениях важные для науки элементы нашей интуиции, всегда останется разрыв, пробел. Парадоксы Зенона и указывают на этот пробел. [26]
Однако, когда имеют дело с непрерывной переменной х, значения которой заполняют целый интервал числовой оси, тогда возникает трудная задача объяснить, каким образом должен х приближаться к постоянному значению хг, чтобы х принимал друг за другом и в надлежащем порядке все значения упомянутого интервала. Точки прямой образуют плотное множество, и когда достигнута какая-то точка, то не существует ближайшей к ней точки. Интуитивная идея непрерывной величины и непрерывного течения совершенно естественна. Однако нельзя на нее ссылаться, когда хотят выяснить математическую ситуацию; между интуитивной идеей и математической формулировкой, призванной описать в точных выражениях важные для науки элементы нашей интуиции, всегда останется разрыв, пробел. Парадоксы Зенона и указывают на этот пробел. [27]
В разделе Плоские молекулы мы рассмотрели изменения длин связей в молекулах ароматических и конденсированных соединений для случаев, когда строго плоскостное строение возможно. Результаты этого обсуждения удовлетворительны; они показывают, что простое понятие - порядок связи - часто может оказаться полезным при обобщении опытных данных. Однако в остальных разделах мы рассматривали молекулы ( трех различных типов), для которых пространственные условия делают плоское строение невозможным. Для этих случаев расчеты носят более предположительный характер, и предстоит сделать еще много для того, чтобы наше описание стало достаточно полным. Однако уже тот важный факт, что мы можем браться за рассмотрение любых таких случаев по мере их возникновения, указывает на то, что мы приближаемся к тому времени, когда будут глубоко познаны распределение зарядов и геометрия молекул. Ранние интуитивные идеи Кекуле начинают в полной мере приносить свои плоды. И в этих достижениях - в настоящем обзоре была сделана попытка показать это - играют роль как теория, так и эксперимент. [28]