Cтраница 2
Таким образом, в этом случае вторая квадратичная форма представляет собой, с точностью до множителя cos ( n, z), совокупность членов второго порядка в разложении функции z f ( x, у) по формуле Тейлора. [16]
О Так как особая точка z - 0 - конечная особая точка, то в разложениях в ряд Лорана этих функций главную часть ряда образует совокупность членов с отрицательными степенями, а правильную - с неотрицательными. [17]
В случае решетки профилей ряд ( 103) заменяется рядом Лорана общего вида, заключающим бесконечное число членов не только в главной его части ( совокупность членов с отрицательными степенями аргументов), но также и в регулярной части, содержащей положительные степени аргумента. Усложняется и ядро интеграла Коши, определяющего аналитическую функцию по заданным ее значениям на обводах профилей решетки. Задача, естественно, значительно упрощается благодаря периодичности обтекания профилей в решетке. [18]
Задача сводится к отысканию такого ортогонального преобразования, связывающего переменные ( х, у, г) и ( х, у, z), чтобы совокупность членов второго измерения относительно координат в левой части уравнения привелась к сумме квадратов. Поставим аналогичную задачу для случая вещественного пространства п измерений. [19]
Теорему предыдущего п можно вывести из этой формулы, так как, если выделим в каждом члене произвольную достоянную интегрирования С -, содержащуюся в неопределенном интеграле, совокупность членов, содержащих произвольные постоянные, будет 2 Сг-и ( что представляет общий интеграл уравнения без свободного члена. Формула приводится к оставшимся членам, если обратить в 0 постоянные С; сумма этих членов и дбразует частный интеграл полного уравнения. [20]
Его правая часть содержит члены более высокого порядка, чем левая, и, казалось бы, ими можно пренебречь. Однако совокупность членов в левой части уравнения тождественно равна нулю в точке сопряжения. Поэтому вблизи нее левая часть может иметь тот же порядок малости, что и правая, содержащая старшую производную. При этом, согласно уравнению (1.18), в точке А ( рис. 2) возникает разрыв кривизны. Следует отметить, что хотя система (1.5) и граничные условия (1.6) и (1.7) с самого начала допускают ошибку в членах выше первого порядка, разыскивается по возможности точное решение аппроксимирующих уравнений. Как видно из анализа (1.18), в поле потока есть области, в которых главные члены или их комбинации обращаются в нуль и поведение решения определяется малыми добавками. Предугадать заранее, где и какие из малых членов окажутся существенными, не всегда представляется возможным, особенно когда течение сложное, как, например, в окрестности точки А. В этом случае сохранение всех членов позволяет уловить тонкие эффекты, вносящие главный вклад в области смыкания потоков. [21]
При практическом применении приближенных методов используется только один или несколько первых членов этого ряда. Чем ближе совокупность взятых членов ряда изображает действительный вид криволинейной формы равновесия, тем точнее получаемое приближенное значение критической на - Трузки. [22]
Здесь х, у, z - координаты точки D поверхности о, которой тело касается плоскости при малом его отклонении от положения равновесия ( рис. 119), h - расстояние центра тяжести тела от опорной горизонтальной плоскости в положении равновесия ( х у 0, z - / г), г, и гг - главные радиусы кривизны поверхности тела в точке D так как поверхность о выпуклая и целиком находится выше опорной плоскости, то величины г, г2 положительны. Многоточие в уравнении ( 11) обозначает совокупность членов, порядок которых относительно х, у выше порядка членов, выписанных явно. [23]
Здесь х, у, z - координаты точки D поверхности а, которой тело касается плоскости при малом его отклонении от положения равновесия ( рис. 119), h - расстояние центра тяжести тела от опорной горизонтальной плоскости в положении равновесия ( х у О, z - - / i), r и Г2 - главные радиусы кривизны поверхности тела в точке Z); так как поверхность а выпуклая и целиком находится выше опорной плоскости, то величины г, т положительны. Многоточие в уравнении ( 11) обозначает совокупность членов, порядок которых относительно х, у выше порядка членов, выписанных явно. [24]
Члены первого уравнения, таким образом развитые, подразделим на четыре рода, из которых первый содержит те члены, в которых X и. Y входят в первой степени и буквы х - не содержат: совокупность членов этого рода обозначим буквою И. [25]
Таким образом, связи между характером точки по отношению к функции и соответствующим разложением в ряд Лорана получаются здесь такие же, как и в случае конечной точки, только роли членоь с положительными и отрицательными степенями меняются между собой. В соответствии с этим главной частью лорановского разложения в окрестности бесконечно удаленной точки является совокупность членов с положительными степенями, а правильной частью - совокупность членов с неположительными степенями. [26]
Таким образом, связи между характером точки по отношению к функции и соответствующим разложением в ряд Лорана получаются здесь такие же, как и в случае конечной точки, только роли членоь с положительными и отрицательными степенями меняются между собой. В соответствии с этим главной частью лорановского разложения в окрестности бесконечно удаленной точки является совокупность членов с положительными степенями, а правильной частью - совокупность членов с неположительными степенями. [27]
Под обращением теоремы Лагранжа понимается доказательство неустойчивости положения равновесия консервативной системы, если для него силовая функция U не имеет максимума. Эта задача до исследований Четаева была решена Ляпуновым лишь для следующих двух частных случаев: 1) в положении равновесия U имеет изолированный минимум, и это обнаруживается из рассмотрения совокупности членов наинизшего порядка в разложении этой функции по степеням приращения координат; 2) отсутствие максимума силовой функции обнаруживается по членам второго порядка в разложении U в указанный ряд. Пенлеве показал на примере, что ставить задачу обращения теоремы Лагранжа имеет смысл лишь для изолированных положений равновесия. [28]
Для любого другого корневого дерева Т все члены последовательности S, соответствующей Т, кроме первого, получаются из последовательностей S -, соответствующих факторам Т, дерева Т, упорядочением Si по возрастанию ранга. Конечно, в случае совпадения некоторых S, их порядок не имеет значения, важно только, чтобы все они присутствовали в S. Таким образом, совокупность членов всех St содержит все члены S, кроме первого. [29]
Рассмотрим уравнение ( 1) с постоянными коэффициентами aijc и выпишем соответствующую квадратичную форму. Попытаемся при помощи линейного преобразования независимых переменных привести совокупность членов, содержащих вторые производные в уравнении ( 1), к простейшему виду. [30]