Cтраница 1
Антикоммутационные соотношения (4.29) согласуются с (4.27), поскольку в антикоммутаторе нулевых мод для последнего ОРЕ (4.29) оператор LO ( нулевую моду Т) можно заменить на р р -, что справедливо на массовой поверхности. [1]
Чтобы удовлетворить антикоммутационным соотношениям (8.2.5), матрицы сцнадо рассматривать как операторы, действующие в спиновом пространстве, подобном тому, которое используется в теории Паули, однако теперь оно четырехмерное, а не двумерное. Вместе с тем легко видеть ( см. приложение IV) с использованием техники разбиения операторов на составные части ( разд. [2]
При таком выборе оператора инверсии координат П в силу антикоммутационных соотношений (19.11) и (19.13) действительно выполняются те условия, что спиральность С - / уз меняет знак при инверсии, а спин Oj - i k i ( с циклической перестановкой индексов) не меняет. [3]
Оператор J вносит в 3kH) новую структуру и превращает 1 Н) в так называемую алгебру канонических антикоммутационных соотношений ( МО); а именно, он позволяет разбить на пары операторы из wH) H и, тем самым, определить в Н Э5 ( Н), операторы рождения и уничтожения. [4]
Рассмотрим теперь понятие дифференцирования. Вследствие антикоммутационных соотношений существуют два типа дифференцирования - левое и правое. Их определения явствуют из двух нижеследующих примеров. [5]
Иногда их также называют операторами рождения и уничтожения. В случае же конечномерного Я все неприводимые представления как коммутационных, так и антикоммутационных соотношений унитарно эквивалентны. [6]
Чтобы вычислить матричные элементы, входящие в выражения (4.11.14), нужно познакомиться с использованием неортогональных орбиталей в формализме вторичного квантования. В этом случае операторы рождения и уничтожения, являющиеся эрмитово сопряженными, уже не удовлетворяют обычным антикоммутационным соотношениям. [7]
Однако мы увидим, что на практике это усложнение несерьезно. Действительно, как правило, мы не будем применять явные представления (1.5.6), (1.5.7) и (1.5.30), (1.5.31); значительно проще работать непосредственно с самими операторами а, а, пользуясь соответствующими коммутационными или антикоммутационными соотношениями, а не явным видом их матричных элементов в представлении чисел заполнения. [8]
Здесь будет дана схема классификации представлений коммутационных соотношений, позволяющая придать понятию разных гильбертовых пространств точный смысл. Эта классификация позволяет также построить примеры описания классического электромагнитного поля в терминах представлений коммутационных соотношений, унитарно неэквивалентных фоковскому. Что касается классификации антикоммутационных соотношений для ферми-полей, то укажем на работу [39], где показано, что при сохранении заряда она сводится к классификации характеристических функционалов, рассмотренных ниже для бозе-случая. При этом роль бозе-поля играет билинейная форма ферми-операто-ров, являющаяся эрмитовым и ограниченным ( в отличие от бозе-случая) оператором. [9]
Ввиду соотношения (6.5.12) в классической теории ( когда величины а и а просто коммутируют друг с другом) выражение для энергии фер-мионного поля, получаемое из (6.5.37) при а 0, оказывается индефинитным по знаку. По этой причине Дираку пришлось ( до введения вторичного квантования) предположить, что все отрицательные энергетические уровни заполнены ненаблюдаемыми электронами, при вырывании которых из этих состояний в дираковском море отрицательных состояний образуются дырки, интерпретируемые как позитроны. Однако эта искусственная картина становится излишней при переходе ко вторичному квантованию, когда для фермионных - - функций записываются антикоммутационные соотношения, а в нормальном произведении при правильной расстановке положительно - и отрицательно-частотных сомножителей меняется знак, когда переставляются местами сомножители противоположной частотности. [10]
Широко известен механизм появления проективности унитарных представлений, связанный с группой Гейзенберга; именно, он возникает в простейших моделях квантования. С переходом к центральному расширению как раз и связано появление постоянной Планка. Для бесконечномерных групп, в частности, групп токов, такой способ получения проективных представлений использован в [16] стр. Совершенно новым явилось то обстоятельство, что эффективным источником проективных представлений ( с непрерывным центром, но уже только в бесконечномерном случае мохут служить группы автоморфизмов канонических коммутационных и антикоммутационных соотношений, т.е. метаплектиче-ская и метагональная группы. [11]