Cтраница 1
Комаксимальное соотношение ( 8) является, очевидно, копростым в том смысле, что элементы а и b не имеют общих необратимых левых делителей, а элементы а, Ь - общих необратимых правых делителей. В произвольном 2 - Р1 - кольце справедливо и обратное утверждение, а именно любое копростое соотношение является комаксимальным. Тогда правый идteaлaR bR является главным и в силу копростоты элементов а и b совпадает с R. [1]
Доказательство, ( i) Любое комаксимальное соотношение ab ba в слабо 2-конечном кольце описывается парой ( 19) взаимно обратных матриц. [2]
Эти утверждения используются в следующем предложении для явного описания всех комаксимальных соотношений ОЕ2 - колец. [3]
Произвольный путь между верхней и нижней точками предыдущей диаграммы определяет некоторое разложение элемента с любой параллелограмм этой диаграммы соответствует некоторому комаксимальному соотношению; это верно не только для минимальных параллелограммов, например уи - и у - комаксимальное соотношение, но также и для произвольных параллелограммов, например ( y z) v3 vl ( y z) - комаксимальное соотношение. [4]
Тогда продолжения этих разложений, о которых идет речь в теореме 5.2, имеют вид ( со) ( b d) ( cb) ( a d), где ab ba - комаксимальное соотношение. [5]
Произвольный путь между верхней и нижней точками предыдущей диаграммы определяет некоторое разложение элемента с любой параллелограмм этой диаграммы соответствует некоторому комаксимальному соотношению; это верно не только для минимальных параллелограммов, например уи - и у - комаксимальное соотношение, но также и для произвольных параллелограммов, например ( y z) v3 vl ( y z) - комаксимальное соотношение. [6]
Строгое ОЕ2 - кольцо, является, в частности, 2 - Р1 - коль-цом, и потому любое соотношение rs uv, удовлетворяющее условию предложения, имеет вид ya-b z yb-a z, где ab baf - некоторое комаксимальное соотношение. Доказываемое утверждение следует теперь из ( i) и того, что любое 2 - FI - кольцо является слабо 2-конечным. [7]
Произвольный путь между верхней и нижней точками предыдущей диаграммы определяет некоторое разложение элемента с любой параллелограмм этой диаграммы соответствует некоторому комаксимальному соотношению; это верно не только для минимальных параллелограммов, например уи - и у - комаксимальное соотношение, но также и для произвольных параллелограммов, например ( y z) v3 vl ( y z) - комаксимальное соотношение. [8]
В частности, комаксимальное соотношение ( 1) соответствует представлению множества Рс в виде объединения двух непересекающихся нижних сегментов, что означает разложение его диаграммы на две несвязные компоненты. [9]
Пусть аи - bv - c в некотором 2 - Р1 - кольце и я, с-комаксимальные справа элементы. Указание: пусть ас - са - комаксимальное соотношение; умножить это соотношение справа на а и использовать тот факт, что aRfibR - главный правый идеал. [10]