Cтраница 1
Определяющие соотношения групп Шевалле над произвольными алгебраически замкнутыми полями К делают их удивительно похожими на комплексные группы Ли - для полной аналогии не хватает лишь соответствующей топологии. Последняя задается топологией Зарисского, в которой открытыми множествами служат дополнения к подмногообразиям. Поскольку определяющие соотношения для групп Шевалле полиномиальны, то эти группы действительно являются алгебраическими многообразиями-над / С. [1]
Описать в терминах порождающих элементов и определяющих соотношений группы, у которых имеется бесконечная циклическая нормальная подгруппа с бесконечной циклической факторгруппой. [2]
Это множество В соотношений называется множеством определяющих соотношений группы G. Хотя бы одно множество В определяющих соотношений существует ( если А непусто), так как в качестве В можно взять все множество А. [3]
Соответствующее множество соотношений г 1 j r e R называется множеством определяющих соотношений группы G относительно X. Говорят, что соотношение ja 1 вытекает, следует или выводимо из множества соотношений s ljseS, если ше 5 в группе F. Выбор множества определяющих слов R неоднозначен. [4]
Сначала R используется для определения представления группы кос р: В - V по естественной формуле p ( bi) Ri, где bi суть стандартные образующие группы Вп. Эта формула действительно задает представление именно потому, что определяющие соотношения группы кос совпадают с уравнениями (32.1), определяющими операторы Янга-Бакстера. Легко показать ( используя теорему Маркова, § 6), что число T ( L) корректно определено и действительно является инвариантом зацеплений. В частности, если простая алгебра Ли, с которой мы начали, есть б1 ( 2 Е), тогда инварианты Джонса ( численные значения полиномов Джонса) могут быть получены таким образом. [5]
К сожалению, при рассмотрении групп узлов также встают не решенные до сих пор трудные задачи. Дело в том, что в топологии известны очень простые способы, как по заданному изображению узла найти образующие и определяющие соотношения группы узла. Но чтобы использовать группы для сравнения различных узлов, необходимо уметь решить, изоморфны или нет группы, заданные своими образующими и определяющими соотношениями, а решение этой задачи до сих пор неизвестно. [6]
Сказанное позволяет предложить следующий подход к теории расширений группы А при помощи G. Вначале выберем образующие, находящиеся во взаимно однозначном соответствии с объединением S JT систем образующих групп А и G, затем, присоединяем все определяющие соотношения группы А. Далее, зафиксируем действие G на Л при помощи некоторого отображения а: T - Aut А и введем соотношения, соответствующие этому действию. [7]
Группы Пуанкаре размерности 2 известны как группы Демушкина. Так как для групп Демушкина 2 ( G Z / pZ) - Z / pZ, то они являются про-р-группами с одним определяющим соотношением. Определяющие соотношения групп Демушкина полностью вычислены. [8]
Группы Пуанкаре размерности 2 известны как группы Демушкина. Так как для групп Демушкина H2 ( G Z / pZ) - Z / pZ, то они являются про-р-группами с одним определяющим соотношением. Определяющие соотношения групп Демушкина полностью вычислены. [9]
В рассматриваемом нами круге вопросов ( да и в других вопросах геометрии), важная роль принадлежит группе МС ( Т) классов отображений, которая определяется как факторгруппа группы гомеоморфизмов поверхности Т по нормальной подгруппе, состоящей из гомеоморфизмов, изотопных тождественному отображению. Группы Autjti ( T) и МС ( Т) являются конечно определенными. С другой стороны, в [69] и [96] использованы топологические соображения к нахождению множества определяющих соотношений группы МС ( Т) в ориентируемом случае. [10]
Указание определяющих соотношений однозначно определяет нормальный делитель N, а значит, и группу G. Это придает точный смысл термину группа, заданная соотношениями, которым мы уже пользовались. Группа, имеющая конечное число образующих, называется конечно порожденной, а если она может быть задана и конечным числом соотношений - то и конечно определенной. Например, формулы ( 1), ( 2) и ( 3) предшествующего параграфа являются определяющими соотношениями группы, а формулы ( 7) и ( 8) - конечной группы, порожденной, отражениями. [11]