Cтраница 2
В характеристическом уравнении n - й степени последний коэффициент обозначен через ап. При составлении определителей, согласно формуле ( 230), все коэффициенты, имеющие индекс выше степени характеристического уравнения, заменяются нулями. [16]
Сформулированный алгебраический критерий устойчивости часто называют критерием Рауса - Гурвица. При составлении определителей по указанной схеме коэффициенты с индексом, превышающим степень характеристического уравнения, заменяются нулями. [17]
При составлении определителя работ пользуются установленными нормативами трудоемкости на операции. [18]
Чтобы подметить общее правило составления определителей матриц га-го порядка, присмотримся внимательнее к определителям 2-го и 3-го порядков. Отвлекаясь пока от знака, поставим вопрос: чем характеризуются произведения, входящие в состав определителя. Прежде всего мы замечаем, что число сомножителей в каждом произведении равно порядку матрицы. [19]
Сопоставляя четность числа инверсий в этих перестановках со знаком соответствующего члена, заключаем, что и у определителя ( 1) ( второго порядка) и у определителя ( 2) ( третьего порядка) знак плюс имеют члены, у которых перестановка вторых индексов четная, и знак минус - члены, у которых эта перестановка нечетная. Установленную выше закономерность в составлении определителей второго и третьего порядков можно положить в основу обобщения понятия определителя. [20]
Для этого следует выбрать независимые контуры так, чтобы эта ветвь оказалась принадлежащей только одному контуру. При этом расчетная часть упростится, но составление определителей потребует большего внимания, так как знак сопротивления, общего для двух контуров, не всегда будет знаком минус, как в предыдущем примере. [21]
Все следующие строки определителя начинаются с последующих коэффициентов с нечетными номерами: ап-5, ап-7, , справа от которых идут коэффициенты с возрастающими номерами. Так же как и в первом методе составления определителя, все отсутствующие коэффициенты заменяются нулями. Так как оба метода составления определителя дают одинаковый результат, можно, составляя ее с помощью одного из них, применить другой для проверки. [22]
При составлении матриц, как и при составлении определителей, используют постоянные коэффициенты системы уравнений. [23]
Все следующие строки определителя начинаются с последующих коэффициентов с нечетными номерами: ап-5, ап-7, , справа от которых идут коэффициенты с возрастающими номерами. Так же как и в первом методе составления определителя, все отсутствующие коэффициенты заменяются нулями. Так как оба метода составления определителя дают одинаковый результат, можно, составляя ее с помощью одного из них, применить другой для проверки. [24]
Недостающие коэффициенты заменяются нулями. Определители Дп - ь Дп-2 получаются последовательным вычеркиванием последних строк и столбцов определителей. В качестве примера приводится алгоритм составления определителей для уравнения 6 - й степени. [25]
Что же внесено Лобачевским нового в курс алгебры. Указания на это мы находим уже в предисловии к печатному изданию алгебры. Излагая решение системы линейных уравнений, Лобачевский дает очень своеобразный прием для составления определителя любого порядка. По указанию Н. Г. Чеботарева, этот прием, сущность которого заключается в предварительной замене индексов показателями, был впервые опубликован Коши в 1815 г. Нет, однако, основания сомневаться в том, что Лобачевскому, который приписывает этот прием себе, работа Коши не была известна. Лобачевский сам указывает, что ему еще не случалось видеть сочинение Штурма ( об отделении корней уравнения), хотя мемуар Штурма был опубликован в 1829 г. В ст. 232 Лобачевский говорит: Общее решение уравнений далее четвертой степени еще до сих пор не найдено; ему, таким образом, еще не известен мемуар Абеля, также относящийся к 1829 г., в котором установлена невозможность общего решения уравнений выше 5 - й степени в радикалах. Не исключена, впрочем, и возможность того, что Лобачевский не был полностью убежден в справедливости полученного Абелем результата; он вызывал, как известно, недоверие и у Гаусса ( см. ниже, стр. [26]