Весовой спектр
Cтраница 1
Весовой спектр для некоторых классов корректирующих циклических кодов, Проблемы передачи информации, 6, вып. [1]
 |
Минимальные векторы в. [2] |
Рюо вычисляются, исходя из весового спектра, приведенного в табл. 3.2. Ближайшие к началу координат центры приведены в табл. 5.3; их общее количество равно т 52416000 ( что соответствует значению, даваемому формулой ( 57) гл. Сечения решетки Р48р исследуются в § 2 гл. [3]
Двойственный код 2е 7 - это [7, 3,4] - код с весовым спектром 0 47; его кодовые слова являются вершинами правильного симплекса. [4]
Если С - линейный код, то at - это его весовой спектр и, как следует из тождества Мак-Вильяме ( формула ( 50) гл. [5]
Первый шаг к получению этих границ был сделан Мак-Вильяме, которая доказала удивительный результат о том, что если С - линейный код, то весовой спектр двойственного кода С является определенным линейным преобразованием весового спектра кода С. Терминология теории кодирования приведена в § 2 гл. Отсюда, в частности, естественно следует, что это линейное преобразование ( в действительности это преобразование Кравчука, как мы увидим в разд. С имеет неотрицательные коэффициенты. [6]
Первый шаг к получению этих границ был сделан Мак-Вильяме, которая доказала удивительный результат о том, что если С - линейный код, то весовой спектр двойственного кода С является определенным линейным преобразованием весового спектра кода С. Терминология теории кодирования приведена в § 2 гл. Отсюда, в частности, естественно следует, что это линейное преобразование ( в действительности это преобразование Кравчука, как мы увидим в разд. С имеет неотрицательные коэффициенты. [7]
Мы описываем известные результаты о классификации самодвойственных кодов и решеток, в частности экстремальных кодов и решеток. Экстремальные весовые спектры и тэта-ряды могут быть ( по меньшей мере в принципе) определены явным образом. Это позволяет показать, что некоторые коэффициенты на самом деле не обращаются в нуль ( теоремы 9, 20, 34), а это приводит к верхним границам на минимальное расстояние или норму ( следствия 10, 21, 35), и, кроме того, что другие коэффициенты отрицательны, а это показывает, что для достаточно больших п не существует экстремальных кодов и решеток ( экстремальные решетки не связаны с экстремальными формами ( см. разд. [8]
Пусть S - шар с центром х, где вектор х сравним с кодовым словом с. Пусть А ( с) - весовой спектр кода С по отношению к с ( разд. [9]
Функция А ( п, d, w) важна как сама по себе, так и потому, что она может быть использована для получения дополнительных неравенств, которым удовлетворяет весовой спектр кода, как мы это видели в примере ( И) предыдущего раздела. [10]
Пусть С есть ( п, М, Л) - код над F. Через Л - ( с) обозначим число кодовых слов, находящихся на расстоянии Хэмминга i от слова с е С. Набор чисел At ( c) называется весовым спектром кода С по отношению к слову с. Числа Л - ( с) удовлетворяют также некоторым менее очевидным неравенствам, обнаруженным Дельсар-том, которые играют ключевую роль в теории. Эти неравенства обсуждаются в гл. [11]
Эта глава содержит дальнейшие исследования связей между кодами и упаковками шаров. Кроме того, мы изучаем самодвойственные коды и решетки, их весовой спектр и тэта-ряды. [12]
Страницы: 1