Cтраница 1
Инвариантное среднее на аддитивной полугруппе натуральных чисел N называется банаховым пределом. На сходящихся последовательностях его значение совпадает с пределом. Банахов предел порождает регулярный метод суммирования рядов с ограниченными частичными суммами. [1]
Рассмотрение инвариантного среднего на C0 ( G) приводит к важному понятию меры Хаара. [2]
Множество всех инвариантных средних выпукло, и Н. Н. Боголюбов и Н. М. Крылов показывают, что в нем имеется достаточное количество крайних точек. [3]
Основной результат о существовании инвариантных средних на полугруппах, принадлежащий Диксмье, приведен в упражнении 3.12. Результаты такого рода можно использовать при доказательствах утверждений типа теоремы 3.3.1 ( см. упр. [4]
Одно из приложений теоремы Маркова-Какутани относится к инвариантным средним. Определим это важное понятие. [5]
При определенных условиях бывает удобно воспользоваться теоремой 3.3.1 для доказательства существования таких инвариантных средних. Особый интерес представляет случай, когда Т - полугруппа с мультипликативной записью закона композиции, а в качестве отображений и рассматриваются либо левые сдвиги t - at, либо правые сдвиги tb - ta, либо те и другие вместе. [6]
Этот результат принадлежит Д и к с м ь е [ 3, теорема 1 ] и использован им для доказательства ряда утверждений относительно существования или отсутствия инвариантных средних. [7]
Если G локально-компактна и обладает счетной базой, то пространство C0 ( G) является объединением счетного множества пространств вида С ( К), где К - компакт в G. В этом случае инвариантное среднее ( если оно существует) также можно записать в виде ( 1), где ц - некоторая а-конечная мера. [8]
At коммутативно, так как полугруппа абелева. Это и есть инвариантное среднее. [9]
Оно было введено Джоном фон Нейманом [88] в 1929 году в связи с парадоксом Банаха - Тарского. Первоначальное определение опиралось на понятие инвариантного среднего и на языке теории меры звучит следующим образом. [10]
Одним из мощных средств изучения топологических групп и их представлений являются операции инвариантного усреднения. Пусть L - какое-нибудь линейное топологическое пространство, состоящее из функций на G-пространстве Х и инвариантное относительно сдвигов. Инвариантным средним называется положительный) линейный функционал на L, инвариантный относительно группы G. Наиболее важен случай, когда X - топологическая группа, a G - группа левых, правых или двусторонних сдвигов на X. Соответствующие средние также называются левыми, правыми или двусторонними. [11]
Регулярное представление локально компактной группы G в гильбертовом пространстве L2 ( G) есть точное непрерывное У. С - алгебра, порожденная образом соответствующего представления алгебры 1 ( С), наз. С - а л г е б р о и группы G и обозначается C r ( G); пусть N - ядро канонического эпиморфизма С ( G) на С1 ( С), определяемого регулярным представлением. G) существует инвариантное среднее, тогда и только тогда, когда Л 0 ( ограниченное представление аменабелъной группы в гильбертовом пространстве эквивалентно У. С, что ядро соответствующего представления С - алгебры С ( С) содержит А, наз. [12]
Теорема 5.14. Этот простой способ построения меры Хаара на компактной группе, по существу, совпадает с предложенным фон Нейманом ( Сотро-sitio Math. Метод фон Неймана ( хотя он чуть длиннее) - даже более элементарен и замкнут в себе: в нем не используется теорема о неподвижной точке. Нейман использовал тот же прием для построения инвариантного среднего на почти периодических функциях. [13]