Cтраница 1
Отделимая равномерная структура, определяемая счетным семейством отклонений, метриауема. [1]
Для всякой равномерной структуры 11 в Е, согласующейся с его топологией, отделимая равномерная структура, ассоциированная с 11 ( гл. [2]
Определение, равносильное определению 1, получится, если сказать, что расстояние есть такое конечное отклонение, которое определяет отделимую равномерную структуру; следовательно, конечное отклонение, эквивалентное некоторому расстоянию, является расстоянием. [3]
В частности, если - N - замыкание нейтрального элемента в G, то правая равномерная структура в GIN изоморфна отделимой равномерной структуре, ассоциированной с правой равномерной структурой в G ( см. гл. [4]
Топология, порожденная на X отделимой равномерностью, является вполне регулярной и обратно, всякая вполне регулярная топология на X порождается нек-рой отделимой равномерной структурой. Как правило, существует много различных равноморностсй, порождающих одинаковую топологию на X. В частности, метризуемая топология может порождаться неметризуемой отделимой равномерностью. [5]
Отсюда сразу следует, что / - расстояние па EIR; его называют расстоянием, ассоциированным с отклонением /; лри атом равномерная структура, определяемая им в Е / Л, есть не что иное, как отделимая равномерная структура, ассоциированная c U ( гл. Таким образом, переходом к надлежащему факторнростронству равномерная структура, определяемая одним отклоненном, сводится к структуре метрического пространства. [6]
Va - множество тех пар ( z, z) из М X М, для которых z - са z - z - - са; показать, что множества Va образуют фундаментальную систему окружений некоторой равномерной структуры 11 в М и что топология У, порождаемая 11, индуцирует в G топологию Т если Т отделима, то 11 есть отделимая равномерная структура [ заметить, что тогда элементы множества М, рассматриваемые как подмножества из 6, замкнуты ]; кроме того, определенное так равномерное пространство М будет тогда полно. Показать, что отображение ( z, z) t - z z произведения М X М в М равномерно непрерывно. [7]
Равномерную структуру в множестве Е называют мстри-зуемой, если она может быть определена посредством расстояния. Отделимая равномерная структура, определяемая счетным семейством отклонений, метризуема; в частности, произведение счетного семейства метризуемых равномерных структур метризуемо. [8]
Пусть R-некоторая булева алгебра, образованная подмножествами множества и. Показать, что множества Сш образуют фундаментальную систему окружений некоторой отделимой равномерной структуры в И. [9]
Остается показать, что множество 33 всех окрестностей диаго - нали Л в X х X действительно есть множество всех окружений равномерной структуры, согласующейся с топологией п X. Для этого достаточно убедиться в том, что 33 есть множество всех окружений некоторой отделимой равномерной структуры в X, ибо тогда топология, порождаемая этой структурой, будет отделимой топологией, мажорируемой топологией пространства X ( гл. I, § 2, предложение 3) и, следовательно, необходимо совпадающей с этой последней ( гл. [10]