Cтраница 1
Экзистенциальное суждение, как, например, существует четное число, вообще не является суждением в собственном смысле этого слова, устанавливающим некоторое фактическое обстояние. Очевидно, что та бесконечная логическая сумма, какою является это предложение ( 1 четна, или 2 четно, или 3 четно, или... [1]
Наоборот, какое-нибудь экзистенциальное суждение, взятое само по себе, есть ничто; если суждение, из которого извлечена подобная абстракция суждения, забыто нами лли утеряно, то действительно ничего не остается ( если не иметь в виду, как мы говорили. [2]
Наше учение об общих и экзистенциальных суждениях не носит вовсе расплывчато-неопределенного характера, это ясно хотя бы потому, что из него тотчас же вытекают важные, строго логические выводы. И в первую очередь тот вывод, что совершенно бессмысленно отрицать подобные суждения, вывод, с которым отпадает возможность применения к этим суждениям аксиомы исключенного третьего. Общие суждения, которые я выше назвал указаниями на суждения, разделяют с собственными суждениями то свойство, что они самодовлеющи, они даже содержат в себе бесконечную полноту действительных суждений. В этом отношении мы должны поставить общие суждения в один ряд с суждениями действительными. [3]
Первая точка зрения может быть сформулирована так: логика не содержит ни экзистенциальных суждений об индивидуальных объектах ( в частности, о постоянных предикатах), ни утверждений о нетривиальных связях экзистенциального характера между объектами. [4]
К подобного рода вещам не следует подходить извне, здесь необходима внутренняя концентрация духа, необходимо бороться за видение, за очевидность. Экзистенциальное суждение - как например: существует четное число - вообще не является суждением в собственном смысле этого слова, устанавливающим некоторое фактическое обстояние; экзистенциальные обстояния - это пустая выдумка логиков. [5]
В своем отрицании логической аксиомы исключенного третьего Броуер идет еще значительно дальше, чем мы это изложили до сих пор. Он оспаривает ее применимость не только к экзистенциальным суждениям о ч и с-ловых последовательностях, но также и к экзистенциальным суждениям о натуральных числах. [6]
В своем отрицании логической аксиомы исключенного третьего Броуер идет еще значительно дальше, чем мы это изложили до сих пор. Он оспаривает ее применимость не только к экзистенциальным суждениям о ч и с-ловых последовательностях, но также и к экзистенциальным суждениям о натуральных числах. [7]
Самое существенное из расхождений между этими двумя исчислениями предикатов связано с истолкованием в них частных, или экзистенциальных, суждений. В то время как в конструктивном исчислении предикатов такие суждения истолковываются как утверждения о возможности оире-дел. Вол ее удовлетворительное истолкование экзистенциальных суждений классич. [8]
Если представить себе познание как драгоценное сокровище, то абстракция суждения - это всего-навсего лист бумаги, указывающий на наличие этого сокровища, но не дающий нам сведений относительно того, в каком месте оно обретается. Единственная ценность этого листа бумаги может состоять только в том, что он побуждает меня заняться поисками сокровища. Там, где речь идет только о возможности построения, нет никакого обладающего содержанием суждения; экзистенциальное суждение приобретает значение только в том случае, когда построение уже осуществлено на деле, доказательство проведено. В многочисленных математических теоремах о существовании главную ценность представляет собой не сама теорема, а используемое при ее доказательстве построение, без которого теорема оказывается лишенной какой бы то ни было ценности тенью. На поставленный в § 3 вопрос о том, как можно что-либо вывести из какой-либо теоремы о существовании, здесь мы ответим: никак; потому что раз она ничего не выражает, то из нее ничего нельзя и вывести. Однако каким же образом мы получаем с другой стороны общие теоремы о натуральных числах. Мы это поясним на возможно простом примере. [9]
Теперь мы вновь обретаем нашу свободу по отношению к числовым последовательностям и числовым множествам. На вопрос существует ли нет последовательность такого-то рода мы уже более не пытаемся добиться определенного в себе утвердительного или отрицательного ответа, растягивая последовательности - в дальнейшем я говорю-только о них - на прокрустовом ложе конструктивных принципов. Если нам удалось построить к а к и м-л ибо образом закон, определяющий последовательность до бесконечности, то мы вправе утверждать, что такой закон существует. Только в том случае, когда построение уже осуществлено на деле, доказательство проведено, мы выставляем подобное экзистенциальное суждение. В многочисленных математических теоремах о существовании главную ценность представляет собой не сама теорема, а используемое при ее доказательстве построение, без которого теорема оказывается лишенной какой бы то ни было ценности тенью. Отрицательное суждение, утверждающее, что закона указанного рода Е не существует, естественным образом при этом лишается всякого смысла. Но здесь как раз выступает на сцену вторая важнейшая идея Броуера. [10]
В частности, в этой вейле-вой числовой системе сохраняет силу как принцип сходимости Коши, так и теорема, что непрерывная функция принимает все промежуточные значения-разумеется, для таких функций и числовых последовательностей, которые сами образованы при помощи наших конструктивных принципов. Если в дальнейшем я и буду вынужден отказаться от собственной своей теории, то мне будет, надеюсь, дозволено энергично, подчеркнуть эту ее заслугу. Я никогда не воображал себе, что данный нам в интуиции континуум есть вейлева числовая система, я просто думал, что анализ для своих построений нуждается только в подобной системе и что ему вовсе нет дела до разлитого между числами этой системы континуума. Использованные при этом логические конструктивные принципы вовсе не придуманы искусственно, во всяком случае они носят гораздо более естественный характер, чем пять действий, с помощью которых строится система эвклидовых чисел. Эти принципы служат не только для построения вещественных чисел, но и для построения точечных множеств и функций вещественных переменных. Здесь следует также в целях общности заменить алгебраически-аналитические операции ( никогда точно не сформулированные и постоянно находящиеся в процессе развития), с помоТцью которых аналисты XVII и XVIII вв. При этом, однако, если желать сохранить смысл у общих и экзистенциальных суждений о функциях и множествах, приходится ограничиться только кругом тех функций и множеств, которые получаются при помощи наших конструктивных принципов, не придавай понятию той объемнонеопределенной всеобщности, которая ныне так общеупотребительна. [11]
Понятие непрерывной функции трактовалось нами так, что его можно перенести на любые многообразия: непрерывное отображение одного многообразия в другом определяется законом, либо ничего не сопрягающим с любой звездой первого многообразия, либо же сопрягающим с ней одну звезду второго; к этому, как и ранее, присоединяется такое же условие включения. Здесь действительно важно оставить открытой возможность сопряжения с ничем, ибо область отображения звезды первого многообразия не должна сводиться к одной единственной звезде второго. Поскольку мы имеем дело с движущейся в некотором континууме переменной, нужно, согласно новой теории, как бы парить над континуумом и нельзя, как ранее, опуститься на отдельную, хотя бы и произвольную точку. Исследователю, привыкшему к прежним методам, подобное требование покажется вначале неудобным, но всякий заметит, как верно передает новый анализ и в этом пункте интуитивный характер континуума. Броуеровская концепция соединяет в себе высочайшую интуитивную ясность со свободой. На того, кто еще сохранил посреди абстрактного формализма математики чувство интуитивной реальности, эта концепция должна действовать как избавление от какого-то тяжелого кошмара. Наконец, укажем еще как совершенно соединяются, взаимно поддерживая и укрепляя друг друга, обе части нового учения: интуитивная адэкватность континуума и логическая позиция по отношению к общим и экзистенциальным суждениям. [12]
Если я представлю себе познание как драгоценное сокровище, то абстракция суждения будет представлять собой лишь лист бумаги, указывающий на наличие этого сокровища, но не дающий сведений, в каком месте оно обретается. Единственная ценность этого листа бумаги может состоять только в том, что он побуждает меня искать сокровище. Но что же это за суждение, которое, взятое само по себе, лишено всякого смысла, и получает смысл лишь на основании проведенного доказательства, только и гарантирующего истинность суждения. Эти замечания, кажется мне, ясно определяют характер его, уясняя вместе с тем собственное значение понятия существования. Точно так же общее высказывание каждое число обладает свойством Ш ( например для каждого числа т мы имеем т - f - 1 1 - j - / я) не является вовсе действительным суждением, а только общим указанием на суждение. Или же, пользуясь другим образом: если сравнить познание с плодом, а акт познания со вкушением плода, то общее суждение должно уподобить твердой оболочке, полной плодов. Конечно, эта оболочка имеет цену, но не сама по себе, а только ради содержащихся в ней плодов; она бесполезна для меня до тех пор, пока я не разломаю ее, не выну самого плода и не вкушу его. Изложенная концепция обрисовывает то значение, которым обладают для нас в дей ствительности общие и экзистенциальные суждения. С ее точки зрения математика представляется колоссальным богатством в бумажной валюте. Действительную ценность, подобную ценности жизненных припасов в народном хозяйстве, имеет для нас непосредственное, сингулярное, всеобщее, и все экзистенциальные суждения ценны для нас только посредственным образом. И, однако, мы, математики, думаем совсем редко о реализации этого. Ценна не экзистенциальная теорема, а проводимое в доказательстве построение. Математика, как говорит мимоходом Броуер, есть более деяние ( Тип), чем учение. [13]
Если я представлю себе познание как драгоценное сокровище, то абстракция суждения будет представлять собой лишь лист бумаги, указывающий на наличие этого сокровища, но не дающий сведений, в каком месте оно обретается. Единственная ценность этого листа бумаги может состоять только в том, что он побуждает меня искать сокровище. Но что же это за суждение, которое, взятое само по себе, лишено всякого смысла, и получает смысл лишь на основании проведенного доказательства, только и гарантирующего истинность суждения. Эти замечания, кажется мне, ясно определяют характер его, уясняя вместе с тем собственное значение понятия существования. Точно так же общее высказывание каждое число обладает свойством Ш ( например для каждого числа т мы имеем т - f - 1 1 - j - / я) не является вовсе действительным суждением, а только общим указанием на суждение. Или же, пользуясь другим образом: если сравнить познание с плодом, а акт познания со вкушением плода, то общее суждение должно уподобить твердой оболочке, полной плодов. Конечно, эта оболочка имеет цену, но не сама по себе, а только ради содержащихся в ней плодов; она бесполезна для меня до тех пор, пока я не разломаю ее, не выну самого плода и не вкушу его. Изложенная концепция обрисовывает то значение, которым обладают для нас в дей ствительности общие и экзистенциальные суждения. С ее точки зрения математика представляется колоссальным богатством в бумажной валюте. Действительную ценность, подобную ценности жизненных припасов в народном хозяйстве, имеет для нас непосредственное, сингулярное, всеобщее, и все экзистенциальные суждения ценны для нас только посредственным образом. И, однако, мы, математики, думаем совсем редко о реализации этого. Ценна не экзистенциальная теорема, а проводимое в доказательстве построение. Математика, как говорит мимоходом Броуер, есть более деяние ( Тип), чем учение. [14]