Cтраница 1
Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна. [1]
Обязательно ли сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций ограниченной вариации является функцией ограниченной вариации. [2]
Прежде всего функция 5 ( х), как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций, также непрерывна. [3]
Прежде всего, функция S ( x), как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций, также непрерывна. [4]
Вейерштрасса ряд ( 2) равномерно сходится на а. Но тогда и ( р, 0) есть непрерывная на а функция, как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. [5]
В теории рядов функций комплексной переменной, так же как и в случае действительной переменной, особую роль играет понятие равномерной сходимости. Например, как помнит читатель из курса анализа1), сходящийся ряд непрерывных функций далеко не всегда сходится к непрерывной функции. В то же время сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций всегда является непрерывной функцией. Равномерно сходящиеся ряды функций комплексной переменной, так же как и в случае действительной переменной, обладают рядом весьма важных свойств, к изучению которых мы и перейдем. [6]
Другой важный вывод, к которому Риман приходит в связи с изучением рядов Фурье - это необходимость четкого различения абсолютной и неабсолютной сходимости. В подтверждение этой точки зрения Риман доказывает свою знаменитую теорему о перестановках неабсолютно сходящихся рядов. Диссертация Римана, кроме того, содержит ( по существу) будущую теорему Вейерштрасса о равномерной сходимости ряда функций, равномерно мажорируемых константами, образующими сходящийся числовой ряд, а также теорему о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Вот как сильно обогатило анализ ( к середине прошлого века) исследование сходимости тригонометрических рядов. [7]
Свойство 4) предыдущего пункта показывает, что интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интегралов от слагаемых. Из интегрального исчисления известно, что, вообще говоря, нельзя интегрировать почленно бесконечный ряд функций, даже если он сходится к непрерывной функции. Однако интеграл суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций может быть определен через почленное интегрирование. [8]
Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Мы установили условия, достаточные для сходимости ряда Фурье некоторой функции / в каждой точке. Класс функций, удовлетворяющих этим условиям, весьма широк, и даже непрерывность вовсе не необходима для представимости функции суммой всюду сходящегося тригонометрического ряда. Положение несколько изменится, если мы будем интересоваться условиями равномерной сходимости ряда Фурье. Ясно, что если функция f ( x) имеет хотя бы один разрыв, то ее ряд Фурье не может сходиться к ней равномерно, поскольку сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций всегда непрерывна. Таким образом, непрерывность функции есть необходимое ( но, конечно, не достаточное) условие равномерной сходимости ее ряда Фурье. [9]
Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Мы установили условия, достаточные для сходимости ряда Фурье некоторой функции / в каждой точке. Класс функций, удовлетворяющих этим условиям, весьма широк, и даже непрерывность вовсе не необходима для представимости функции суммой всюду сходящегося тригонометрического ряда. Положение несколько изменится, если мы будем интересоваться условиями равномерной сходимости ряда Фурье. Ясно, что если функция f ( x) имеет хотя бы один разрыв, то ее ряд Фурье не может сходиться к ней равномерно, поскольку сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций всегда непрерывна. Таким образом, непрерывность функции есть необходимое ( но, конечно, не достаточное) условие равномерной сходимости ее ряда Фурье. [10]