Cтраница 1
Сумма непрерывных функций является непрерывной функцией. [1]
Эту теорему кратко формулируют так: сумма непрерывных функций непрерывна. [2]
Как известно, для конечных сумм имеют место следующие свойства: сумма непрерывных функций является непрерывной функцией; производная суммы равна сумме производных слагаемых; интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых. Для функциональных рядов ( бесконечных сумм) эти свойства, вообще говоря, не имеют места: в результате почленного дифференцирования ( интегрирования) функционального ряда можно получить ряд, сумма которого отлична от производной ( интеграла) суммы данного ряда, или даже расходящийся ряд. [3]
Основные теоремы о свойствах непрерывных в некоторой точке функций ( например, теорема о непрерывности суммы непрерывных функций) доказываются для функций многих переменных так же, как и для функции одной переменной. Ниже будет доказано, что суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция. [4]
Линейным вещественным пространством является множество C ( R, R) всех непрерывных вещественных функций на R. Это следует из того, что сумма непрерывных функций и произведение непрерывной функции на число являются непрерывными функциями. [5]
Функциональные ряды и ряды Фурье. VI мы уже видели, что сумма непрерывных функций ( бесконечное число слагаемых) может оказаться функцией разрывной. [6]
В первой главе мы молчаливо допустили, что элементарные функции непрерывны. Доказательство этого факта теперь очень просто. Прежде всего, функция f ( x) x непрерывна, поэтому и х2 х х непрерывна, как произведение двух непрерывных функций; точно так же непрерывна и всякая целая степень от х, а потому и всякая целая рациональная функция, как сумма непрерывных функций; вместе с тем и всякая дробная рациональная функция, как частное двух непрерывных функций, непрерывна во всяком интервале, в котором знаменатель не обращается в нуль. [7]
В анализе прежде всего рассматриваются вещественнозначные функции, определенные на всем R или интервалах ( a, 6) c: R. Дли большинства приложений, однако, пространство всех таких функций слишком велико: полезно рассматривать непрерывные или дифференцируемые функции. После введения соответствующих определений обычно доказывается, что сумма непрерывных функций непрерывна и произведение непрерывной функции на скаляр непрерывно; то же для дифференцируемости. [8]