Cтраница 2
Здесь суммы рядов с целыми членами оказываются дробными числами. Не следует, однако, усматривать в этом каких-либо противоречий ни со здравым смыслом, ни с законами арифметики. В самом деле, сумма любого конечного числа целых слагаемых должна быть целой; но здесь это никак и не оспаривается. Ясно также, что множество всех целых чисел является замкнутым, и потому предел всякой последовательности целых чисел ( частичных сумм ряда с целыми членами) также должен быть целым числом. Но ведь в наших рассуждениях s ( - 2) не есть предел последовательности частичных сумм. От этой функциональной зависимости требуется лишь соблюдение некоторых свойств типа линейности: при умножении каждого из членов ряда на некоторое число его сумма умножается на это же число, а при почленном сложении двух рядов складываются и их суммы. Кроме того, мы допустили, что если все члены ряда, кроме одного, суть нули, то сумма ряда равна этому единственному отличному от нуля числу. В этих условиях ничто не мешает сумме ряда с целыми членами быть и нецелой. [16]