Cтраница 1
Существование математического ожидания является необходимым и достаточным условием для применимости усиленного закона больших чисел к последовательности одинаково распределенных и взаимно независимых случайных величин. [1]
Существование математических ожиданий величин Хп не предполагается. [2]
Мы не требуем существования математического ожидания. [3]
В последних формулах из существования математических ожиданий справа вытекает существование корреляционных функций слева. [4]
В пЪследних формулах из существования математических ожиданий справа вытекает существование корреляционных функций слева. [5]
Он показал, что существование конечного математического ожидания достаточно для выполнения закона больших чисел. Борель для р 0 5 показал, что в случае схемы Бернулли имеет место более сильное предложение, чем закон больших чисел. [6]
Правая часть в силу существования математического ожидания становится меньше чем - при п достаточно больших. [7]
Во всех приведенных выше формулах число слагаемых в суммах может быть бесконечным; в этом случае для существования соответствующего математического ожидания сумма должна сходиться абсолютно. [8]
Во всех приведенных выше формулах число слагаемых в суммах может быть бесконечным; в этом случае для существования соответствующего математического ожидания ряд должен сходиться абсолютно. [9]
То, что утверждение гораздо сильнее слабого закона больших чисел, следует из того факта, что соотношение (8.1) выполняется, как мы видели, для некоторых последовательностей jXfe, не имеющих математического ожидания. В противоположность этому существование математического ожидания является необходимым условием для усиленного закона больших чисел. [10]
Коэффициент расхода а для стандартизованной диафрагмы определен по результатам чрезвычайно большого числа тщательно выполненных измерений. Их обработка позволила установить существование математического ожидания Е ( а) и достаточно точно его оценить, а также оценить среднюю квадратичную погрешность аа для однократного измерения. Поэтому, несмотря на то, что уравнение измерения расхода содержит случайную величину - коэффициент, внешне аналогичный коэффициенту заполнения /, измерение расхода является безусловным измерением. [11]
Несколько позднее эти условия послужили А. Н. Колмогорову основой для получения необходимого и достаточного условия для усиленного закона больших чисел в случае одинаково распределенных независимых слагаемых. Это условие исключительно просто - существование конечного математического ожидания у слагаемых. [12]
Мы видели, что слабый закон больших чисел в форме (7.8) применим и к некоторым последовательностям случайных величин, ire имеющих математического ожидания. В противоположность этому для усиленного закона существование математического ожидания Е ( Xj) необходимо. В подтверждение этого следующая теорема показывает, что при отсутствии конечного математического ожидания последовательность арифметических средних Sn / n не ограничена с вероятностью единица. [13]
В своей общей постановке эта задача приводит к расчетам трудно обозримым по своей сложности. Зато в отношении закона распределения длин разговоров мы ограничимся естественным требованием существования конечного математического ожидания, оставляя этот закон во всем остальном совершенно произвольным. Мы увидим, что при этих предпосылках задача отыскания закона распределения времени ожидания принципиально решается до конца сравнительно несложными приемами. [14]
Дальнейшие усилия долго не приносили принципиальных успехов. В 1928 г. А. Я. Хинчин показал, что если случайные величины 1 не только независимы, но и одинаково распределены, то существование математического ожидания М является достаточным условием для применимости закона больших чисел. [15]