Cтраница 1
Существование предельных распределений вытекает из доказательства следующей теоремы. [1]
Доказать существование предельного распределения не удалось, хотя численные расчеты четко указывают на его существование. [2]
Резюмируем полученные выше результаты о существовании предельного распределения, единственного стационарного распределения и эргодичности для случая конечных цепей. [3]
Резюмируем полученные выше результаты о существовании предельного распределения, единственного стационарного распределения и эргодичности для случая конечных цепей. [4]
Несложные вычисления показывают, что b - bn - N, и поэтому, согласно теореме I, величины c - W / a, если замены непериодичны. Это означает существование устойчивого предельного распределения возраста. Поэтому математическое ожидание числа таких элементов равно vn k rh и стремится к Nrh. Иначе говоря, с течением времени доля элементов устройства, имеющих возраст k, стремится к rhl a. Аналогичное утверждение справедливо и при значительно более общих условиях. [5]
Грубо говоря, это означает, что никакая вероятностная масса не утекает в бесконечность. Очевидно, это условие является необходимым для существования собственного предельного распределения. [6]
Там же приведена соответствующая библиография. На этом факте основано большинство теорем, касающихся вопроса существования предельного распределения. [7]
Первоначально усилия были сосредоточены только на условиях сходимости к нормальному распределению и выполнимости закона больших чисел. Позднее были поставлены вопросы о классе предельных распределений и об условиях существования предельного распределения. Эту задачу удалось решить в условиях одинаковой распределенное и независимости слагаемых, а также независимости числа слагаемых от самих слагаемых. [8]
Отправляясь от этой работы, Б.В. Гнеденко построил теорию суммирования независимых случайных величин, основанную на сравнительно легко доказываемом факте: если суммируются предельно постоянные независимые слагаемые и функции распределения соответствующих центрированных сумм сходятся к некоторому предельному, то можно построить последовательность безгранично делимых случайных величин, функции распределения которых сближаются с функциями распределения сумм. Кроме того, этот подход давал возможность совершенно прозрачно найти условия существования предельных распределений и условия сходимости функций распределения сумм к любому возможному предельному распределению. В частности, были найдены необходимые и достаточные условия для закона больших чисел, для сходимости к нормальному распределению, распределению Пуассона, устойчивым распределениям. [9]
Из урны, содержащей b черных и г красных шаров, выбирается наудачу один шар. Затем этот шар возвращается и, кроме того, в урну добавляется с шаров того же цвета, что и выбранный шар. Пусть u b / ( b - - r) r и пусть Yn есть доля черных шаров, оказавшихся в урне в результате n - го извлечения. Последовательность Yn является мартингалом. Теорема о сходимости обеспечивает здесь существование предельного распределения [ см. примеры гл. [10]
В 1933 г. Колмогоров высказал гипотезу, что если суммируются примерно равноправные независимые случайные величины, то при увеличении числа слагаемых их распределения будут приближаться к безгранично-делимым законам и, следовательно, если распределения последовательных сумм будут сходиться к предельному, то этот предельный закон обязательно должен быть безгранично-делимым. В предположении, что слагаемые имеют конечные дисперсии, а дисперсии последовательных сумм ограничены, эту гипотезу доказал ученик Колмогорова Г. М. Бавли ( 1908 - 1941) в 1934 г. В полном объеме эта гипотеза была доказана Хинчиным с привлечением довольно громоздких аналитических средств через три года. Отправляясь от этой работы, Гнеденко построил теорию суммирования независимых случайных величин, основанную на сравнительно легко доказываемом факте: если суммируются предельно постоянные независимые слагаемые и функции распределения соответствующих центрированных сумм сходятся к некоторому предельному, то можно построить последовательность безгранично-делимых случайных величин, функции распределения которых сближаются с функциями распределения сумм. Кроме того, этот подход давал возможность совершенно прозрачно найти условия существования предельных распределений и условия сходимости функций распределения сумм к любому возможному предельному распределению. В частности, были найдены необходимые и достаточные условия для закона больших чисел, для сходимости к нормальному распределению, распределению Пуассона, устойчивым распределениям. [11]
Если мы будем производить измерения через определенные заданные интервалы времени, то с вероятностной точки зрения эта схема оказывается схемой цепи Маркова. Действительно, так как ячейки соответствуют здесь максимально полно определенным состояниям, то вероятности перехода pik, а следовательно, и вероятности исходов последующего опыта однозначно определяются исходом настоящего опыта. Так как коэффициенты pik удовлетворяют соотношению симметрии р ры, то, как известно из теории цепей Маркова, существует стационарное распределение, представляемое равномерным распределением вероятностей между ячейками. Если мы будем считать, что все коэффициенты j0ft 0 ( что, как будет видно в § 3, можно предположить без существенного сужения физической постановки задачи), то стационарное распределение вероятностей единственно; кроме того, это стационарное распределение является предельным при любом начальном состоянии системы или при любом распределении вероятностей начальных состояний. Согласно этой теореме, частость осуществления заданной ячейки в данном процессе, для любого заданного начального состояния, при возрастании числа последовательных во времени опытов будет иметь пределом среднюю вероятность осуществления этой ячейки для того же процесса или ( ввиду существования предельного распределения) вероятность осуществления этой ячейки при стационарном распределении. [12]
Отправляясь от этой работы, Б.В. Гнеденко построил теорию суммирования независимых случайных величин, основанную на сравнительно легко доказываемом факте: если суммируются предельно постоянные независимые слагаемые и функции распределения соответствующих центрированных сумм сходятся к некоторому предельному, то можно построить последовательность безгранично делимых случайных величин, функции распределения которых сближаются с функциями распределения сумм. Кроме того, этот подход давал возможность совершенно прозрачно найти условия существования предельных распределений и условия сходимости функций распределения сумм к любому возможному предельному распределению. В частности, были найдены необходимые и достаточные условия для закона больших чисел, для сходимости к нормальному распределению, распределению Пуассона, устойчивым распределениям. Первоначально усилия были сосредоточены только на условиях сходимости к нормальному распределению и выполнимости закона больших чисел. Позднее были поставлены вопросы о классе предельных распределений и об условиях существования предельного распределения. [13]