Cтраница 2
Так как определитель системы (6.74) равен / 2, а необходимым и достаточным условием существования единственного решения этой системы является неравенство нулю ее определителя, то мы можем сделать следующий важный вывод: линии эллиптического типа ( 72 0) и гиперболического типа ( 72 0) - и только эти линии - являются центральными. [16]
Эти предельные ( ty - - 0) точки являются спектральными для прямого волновода ( см. § 3.5), в которых нарушаются условия существования единственного решения задачи дифракции, что приводит к возникновению эффекта сгущения линий равного уровня коэффициентов отражения или прохождения. [17]
Раз это так, естественно задать вопрос, является ли последний случай пределом ослабления условий или же ацикличность может быть заменена еще более слабым условием без потери существования единственного решения. [18]
Hk-i задачи (1.4), а затем установим существование единственного решения в Hk - и для а6Яь ь Доказательство теоремы 2 закончено. [19]
Уравнения ( 4) называются уравнениями центра линии второго порядка, а точка ( л 0; yQ), где х0, у0 - решение системы ( 4), называется центром этой линии. Заметим, что необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы ( 4) является отличие от нуля числа АС - В2, называемого определителем системы ( см. гл. [20]
Это условие не всегда удается проверить. В § 29 будут сформулированы простые достаточные условия однозначной разрешимости краевой задачи, а в данном параграфе мы будем предполагать существование единственного решения заданной краевой задачи, что часто вытекает из физических соображений. [21]
Ксли два сильных решения, удовлетворяющих (1.2.53), при каждом t [ to, Т ] совпадают с вероятностью единица, то они назы-наются стохастически эквивалентными. Говорят, что уравнение (1.2.54) имеет единственное сильное решение начальной задачи (1.2.55), если все решения (1.2.53) стохастически эквивалентны. В случае существования сильного единственного решения (1.2.54) - (1.2.55) для его обозначения используется та же форма записи x ( f, tQ, ), t [ to, Т ], что и в детерминированном случае. [22]
В работе [10] проблема существования решения системы уравнений термоупругости рассматривается для анизотропного неоднородного тела. Задача определяется заданием смешанных однородных граничных условий для перемещений, напряжений, температуры и теплового потока и начальных данных для перемещений, скорости перемещений и температуры. Условия, при которых рассматривается существование единственного решения, следующие: 1) существенные нижние границы для плотности и удельной теплоемкости больше нуля, 2) выполняется неравенство Клаузиуса - Дюгема о положительности произведения теплового потока на градиент температуры, 3) оператор теории упругости является положительно определенным для принятых граничных условий. Существование единственного обобщенного решения на конечном промежутке времени доказано в пространстве функций с конечной энергией, в котором перемещения суммируемы с квадратом и имеют суммируемые с квадратом первые производные, температура суммируема с квадратом и суммируем интеграл по времени от квадратов производных температуры по координатам. [23]
Дальнейший анализ показывает, что одно из двух семейств характеристик состоит из прямых линий и что продолжения этих прямых образуют огибающую кривую с острием, как показано на рис. 10.2. Второе семейство характеристик однократно покрывает область. Можно увидеть, что через каждую точку, лежащую внутри огибающей, проходит не одна, а три прямолинейных характеристики. Уже одно это заставляет ожидать, что теорему существования единственного решения нельзя распространить на область, лежащую внутри огибающей. [24]
В сформулированном выше условии единственности решения системы (11.1.5) - (11.1.9), опирающемся на понятие остовного дерева, мы молчаливо подразумевали, что сопротивления Re положительные. Однако это слишком сильное ограничение, так как при моделировании некоторых более развитых электронных устройств мы должны пользоваться отрицательными сопротивлениями. Если допускаются отрицательные значения Re, то сформулированное выше условие существования единственного решения системы уравнений (11.1.5) - (11.1.9) перестает быть достаточным. [25]
Может оказаться, что решение канонической системы допускает единственное продолжение и через кривую, на которой якобиан обращается в нуль. В этом случае теорема существования и единственности для первоначальной системы с независимыми переменными х и у может быть высказана только для меньшей области, где якобиан не обращается в нуль. Можно показать, что это не является следствием нашего метода доказательства и что эти границы существования единственного решения присущи самой задаче ( см. разд. [26]