Схема - расширенная зона
Cтраница 1
Схемы приведенных и расширенных зон являются одинаково правильными, и выбор одной из них, как мы увидим в разд. [1]
Центральное сечение поверхности Ферми для алюминия в схеме расширенных зон изображено на рис. 16.9. Выполнив рассмотрение, соответствующее рис. 16.5, можно убедиться в существования электронных орбит двух типов, соответствующих сечению поверхности Ферми для второй и третьей энергетических зон, изображенных на рис. 16.8. - Свинец имеет такую же точно топологию поверхности Ферми, но у него четыре электрона на каждом атоме, и поэтому сфера Ферми превосходит размером зону Бриллюэна в большей степени, чем в алюминии. [2]
 |
Сечение плоскостью ( 110 поверхности Ферми алюминия в схеме. [3] |
Сглаживание поверхностей Ферми в схеме повторяющихся зон также соответствует некоторому искажению сферы Ферми для свободных электронов в схеме расширенных зон. Это искажение рассчитывалось для алюминия, соответствующая поверхность Ферми изображена на рис. 16.9. Полная площадь поверхности Ферми при этом уменьшается, и, как мы увидим ниже, аналогичный эффект в ковалентных кристаллах приведет к тому, что поверхность Ферми будет состоять из нескольких несвязанных кусков. [4]
 |
Схема приведенных ( а и расширенных ( б зон для одномерного кристалла. [5] |
При исследовании поверхности Ферми металлов и сплавов сложной структуры с большим числом атомов в элементарной ячейке полезной оказывается схема расширенных зон. В этой схеме волновой вектор k изменяется во всем пространстве обратной решетки ( расширенное k - пространство), энергия однозначно определяется значением волнового вектора, но не является, как в схеме приведенных зон, непрерывной его функцией. [6]
&, можно перенести в первую зону Бриллюэна. Схемы приведенных и расширенных зон являются одинаково правильными, и выбор одной из них, как мы увидим в разд. [7]
При этом матричный элемент тоже зависит только от угла. Из простых тригонометрических соображений следует, что g2 2& F2 ( l - cos 9), поэтому wq из (16.7) является также просто функцией угла. Здесь мы возвратились к схеме расширенных зон, в которой поверхность Ферми представляет сферу. Схема расширенных зон в этих расчетах, как и почти во всех других вычислениях, наиболее удобна. Геометрическая задача вычисления интеграла по поверхности Ферми в схеме приведенных зон довольно сложна, но при правильных вычислениях результат получается тот же самый. [9]
При этом матричный элемент тоже зависит только от угла. Из простых тригонометрических соображений следует, что g2 2& F2 ( l - cos 9), поэтому wq из (16.7) является также просто функцией угла. Здесь мы возвратились к схеме расширенных зон, в которой поверхность Ферми представляет сферу. Схема расширенных зон в этих расчетах, как и почти во всех других вычислениях, наиболее удобна. Геометрическая задача вычисления интеграла по поверхности Ферми в схеме приведенных зон довольно сложна, но при правильных вычислениях результат получается тот же самый. [11]
Применим теперь обозначения теории групп к электронным энергетическим зонам полупроводников типа алмаза и цинковой обманки. Поскольку электроны движутся в кристаллическом потенциале, их волновые функции могут быть симметри-зованы таким образом, чтобы отражать симметрию кристалла, т.е. быть записаны в такой форме, когда они принадлежат неприводимым представлениям пространственной группы кристалла. Однако для того, чтобы подчеркнуть свойства симметрии электронных волновых функций, мы будем предполагать, что кристллический потенциал исчезающе мал. В этой идеальной решетке или в модели почти свободного электрона энергия и волновые функции электрона являются такими же, как приведенные для свободной частицы в (2.18) и (2.19) соответственно. Электронная энергетическая зона, построенная в схеме расширенных зон, является просто параболой. Эта парабола выглядит значительно более сложно в схеме приведенных зон. Она имеет особенно устрашающий вид, если волновые функции обозначены в соответствии с неприводимыми представлениями точечной группы кристалла. Такие сложности возникли из-за использования симметрийных свойств кристалла, что предположительно должно было упростить проблему. [12]
 |
Приведение e ( k для сво.| Изображение e ( k в схемах расширенной ( I, приведенной ( II и повторяющейся зон ( III. [13] |
На границе зоны Бриллюэна функция e ( k) окажется равной - функции. При дальнейшем движении k в том же направлении возникает ветвь В С вместо ВС. Аналогично при движении в сторону отрицательных значений после достижения В функция e ( k) перебрасывается в точку В. Эта процедура называется приведением к первой зоне Бриллюэна. Схема изображения зон в k - пространстве без приведения к первой зоне называется схемой расширенных зон, а после приведения к одной зоне - схемой приведенных зон. Иногда оказывается удобным транслировать результат приведения во все зоны Бриллюэна. [14]
Установим теперь связь результатов этой главы с зонной картиной электронного спектра, введенной нами в разд. Рассматриваемые кристаллы имеют трансляционную симметрию простой кубической решетки. Для описания электронных состояний мы использовали волновые векторы, область изменения которых была ограничена зоной Бриллюэна. При этом любой волновой вектор, отличающийся от волнового вектора в пределах зоны Бриллюэна на вектор обратной решетки, мы называли эквивалентным волновым вектором. В приближении почти свободных электронов нам пришлось рассматривать волновые векторы для большинства состояний, лежащие вне зоны Бриллюэна. Такое рассмотрение носит название схемы расширенных зон. Она наиболее удобна для описания свойств металлов. Чтобы связать энергетический спектр свободных электронов со спектром в зоне Бриллюэна, заметим, что область обратного пространства, содержащая точку k0 и ограниченная по любому направлению ближайшими плоскостями брэггов-ского отражения, является первой зоной Бриллюэна. В простой кубической решетке - это куб, изображенный на рис, 16.4. Тогда энергию электрона E n2k2 / 2m с k, лежащим вне зоны Бриллюэна, можно изобразить в виде функции эквивалентного вектора k - q, который лежит уже в пределах зоны Бриллюэна. Такая процедура использовалась нами на рис. 2.2 6, где изображены энергетические зоны в модели почти свободных электронов. Как показано на рис. 16.6, именно таким образом состояния в треугольных областях, расположенные вне первой зоны Бриллюэна, и содержащиеся в них сегменты поверхности Ферми приводятся в первую зону Бриллюэна. В результате мы получаем так называемую схему приведенных зон. [15]
Страницы: 1