Cтраница 1
Схемы Рунге-Кутта имеют ряд важных достоинств. Все они ( кроме схемы ломаных) имеют хорошую точность. Все схемы допускают расчет переменным шагом; значит, нетрудно уменьшить шаг там, где функция быстро меняется, и увеличить его в обратном случае. Для начала расчета достаточно выбрать сетку хп и задать значение Уо г, далее вычисления идут по одним и тем же формулам. Все эти свойства схем очень ценны при расчетах на ЭВМ. [1]
В [393] схема Рунге-Кутта чередуется с периодическим уточнением решения по методу Ньютона - Рафсона. [2]
Разработаны разностные схемы типа схем Рунге-Кутта, применимые непосредственно для уравнения второго порядка и не требующие предварительного сведения этих уравнений к системам первого порядка. [3]
Отметим в заключение, что схемы Рунге-Кутта допускают вычисления и с переменным шагом. [4]
Эта схема имеет самую низкую погрешность для данного семейства схем Рунге-Кутта. [5]
Среди схем более высокого порядка аппроксимации наиболее употребительны различные варианты схем Рунге-Кутта. [6]
При построении разностных схем, аппроксимирующих нестационарные задачи, может быть использована та же идея, которая лежит в основе конструкции схем Рунге-Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений, - идея пересчета. Пересчет позволяет повысить порядок аппроксимации, получаемый по исходной схеме, не использующей пересчета. Кроме того, в случае квазилинейных дифференциальных уравнений пересчет дает дополнительную возможность получения так называемых дивергентных схем, о которых будет идти речь в гл. [7]
Использование схем, подобных (1.44), затруднено тем, что требуется вычислять производные от функции / ( т, Т), и в настоящее время они применяются не часто. К таким схемам относятся схемы Рунге-Кутта. [8]
Например, схема ломаных ( 15) есть схема Рунге-Кутта первого порядка точности. Наиболее употребительны схемы четвертого порядка точности, образующие семейство четырехчленных схем. [9]
С учетом всего сказанного возникает потребность еще больше упростить решение уравнений трансформации паводка. Такая потребность обусловлена не столько вычислительными соображениями, хотя погружение численного интегрирования ( например, по схеме Рунге-Кутта) внутрь описываемой в следующем разделе многовариантной оптимизации подразумевает использование все же достаточно мощных компьютеров, сколько стремлением обеспечить системное соответствие между точностью исходной информации, принимаемых предположений и детальностью вычислительной схемы. Учитывая оценочный характер методологии выбора расчетного гидрографа, стоимостных показателей элементов гидроузлов и упрощающих предпосылок редукционной гипотезы, для расчета максимального сбросного расхода q - предлагается заменить уравнение (11.6.3) некоторым алгебраическим соотношением. Такое предложение кажется тем более естественным, поскольку решение задачи выбора расчетного гидрографа паводка получено в виде соотношений (11.2.10) - (11.2.11), что соответствует схематизации входного гидрографа в форме трапеции. [10]
С учетом всего сказанного возникает потребность еще больше упростить решение уравнений трансформации паводка. Такая потребность обусловлена не столько вычислительными соображениями, хотя погружение численного интегрирования ( например, по схеме Рунге-Кутта) внутрь описываемой в следующем разделе многовариантной оптимизации подразумевает использование все же достаточно мощных компьютеров, сколько стремлением обеспечить системное соответствие между точностью исходной информации, принимаемых предположений и детальностью вычислительной схемы. [11]
Особенности использования стандартных подпрограмм разберем на примере подпрограммы R KGS из математического обеспечения ЕС ЭВМ, которая реализует схему Рунге-Кутта четвертого порядка для системы N обыкновенных дифференциальных уравнений с автоматическим выбором шага интегрирования. Пример применения этой подпрограммы приведен в следующем параграфе для решения задачи расчета нестационарного теплового режима системы тел. [12]
Как мы уже отмечали, схема Эйлера имеет лишь первый порядок сходимости, и для получения высокой точности по этой схеме приходится вести вычисления с очень мелким шагом, что приводит к значительному росту времени счета. Одним из классов таких схем являются схемы Рунге-Кутта. [13]
Все описанные схемы численного решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка ( 1) автоматически переносятся на системы уравнений первого порядка. Тогда схемы Рунге-Кутта ( 3), ( 4) сохранят смысл и останутся применимыми. [14]