Cтраница 1
Строгая вогнутость имеет место при условии отрицательной определенности гессиана. [1]
А так как эта функция строго вогнута ( вследствие строгой вогнутости /), тоя - единственная точка максимума. [2]
Достаточные условия для определения максимума или минимума формулируются следующим образом: для того, чтобы в точке Х достигался внутренний локальный максимум, достаточно равенства нулю всех частных производных и строгой вогнутости функции в некоторой окрестности этой точки; для того чтобы в точке Х ( 0) достигался внутренний локальный минимум, достаточно, чтобы все частные производные обращались в нуль и чтобы в малой окрестности этой точки функция была строго выпуклой. [3]
Следовательно, на любом интервале [ 0 а ] возможных уровней производства предпочтение агента i является унимодальным, а его пик есть максимум функции ( 8), единственный по предположению строгой вогнутости. Таким образом, мы имеем очень простой немани-пулируемый и сбалансированный по бюджету механизм: попросить каждого агента сообщить свой пик, произвести общественный продукт на уровне, соответствующем среднему из сообщенных пиков ( если л четно, то выбрать левого победителя по Коидорсе а / 2) и поделить затраты иа общественный продукт поровну. [4]
Поэтому хотя бы одно из чисел F ( х, у, аг), F ( х, у, а2) меньше, чем F ( х, у, а0); а это означает, что любая не крайняя точка а0 не может реализовать интересующий нас минимум. Следовательно, в случае строгой вогнутости минимум необходимо достигается только в одной из крайних точек. [5]