Cтраница 1
Теоремы неполноты XII и XIII в нашем изложении получены путем применения случаев теоремы V для предикатных форм R ( х) и ( Еу) R ( х, у) соответственно. [1]
Упрощенный вариант теоремы неполноты Геделя легко следует из теоремы 1.5. Опишем сначала постановку этой знаменитой задачи. [2]
В такой постановке задачи есть очевидное сходство с теоремой неполноты Геделя, хотя проблема, которую сформулировал Гильберт и решил Тьюринг, была значительно сложнее. [3]
Противоречивая и вызывающая статья; автор утверждает, что он нашел доказательство того, что человеческий мозг в принципе не может быть смоделирован при помощи компьютерной программы. Его интересные доводы целиком основаны на теореме неполноты Геделя. Стиль этой статьи кажется мне необыкновенно раздражающим - и именно поэтому забавным для чтения. [4]
Нахождение единственной оптимальной по сложности модели обеспечивается путем применения принципа и алгоритмов регуля ризации. Последние отражают в данном случае идею и требования теоремы неполноты Геделя, которая доказывает, что при всякой системе исходных аксиом всегда можно указать теорему, для доказательства которой требуются новые аксиомы - внешние дополнения. Любой язык недостаточен для решения всех задач данной системы, так как есть задачи, требующие применения языка более высокого уровня абстракции. [5]
Приведенные рассуждения, а также рассмотрение практического примера позволяют сформулировать один из принципов прикладной кибернетики. Этот принцип сводится к тому, что в силу теоремы неполноты Геделя любой язык управления в конечном счете недостаточен для выполнения поставленных перед ним задач, но этот недостаток может быть устранен благодаря включению черного ящика в цепь управления. Назначение черного ящика состоит именно в том, чтобы формулиро вать решения, выражаемые языком более высокого порядка, которые по определению, конечно, не могут быть выражены в терминах управления. При этом указанные решения призваны устранять недостатки первоначально созданной машины, принимающей решения. [6]
На схеме ( рис. 4) показано, как решается задача. Если язык управляющего устройства не может быть адекватным в силу теоремы неполноты, то его необходимо подчинить управлению извне, выражаемому языком высшего порядка, или метаязыком. [7]
Однако я глубоко убежден, что для построения истинных кибернетических машин, предназначенных для выработки стратегических решений, затрагивающих все производство, этот принцип будет необходим. Я называю его принципом внешнего дополнения, ибо он представляет собой практический метод преодоления следствий теоремы неполноты. [8]
Более того, как Черепаха намекала наивному Ахиллу, события в Акростиконт-рапунктусе - перифраз построения, которое Гедель использовал для доказательства своей Теоремы Неполноты; из этого следует, что Геделево построение сродни диагональному методу. [9]
А этот вывод сводится к тому, что в большинстве формальных языков, примером которых является математика, всегда будут содержаться неразрешимые предложения. Естественно, что ни один обычный язык не может быть полным и замкнутым. Это положение, следствие которого нам потребуется в следующей главе, известно как теорема неполноты Геделя. Попутно следует отметить, что логикам удалось разработать высоко специализированные языки, являющиеся сами по себе алгоритмически разрешимыми. Однако это достижение относится только к их формальной структуре. [10]