Cтраница 2
Следовательно, степенной ряд, полученный дифференцированием, сходится равномерно и представляет поэтому, согласно теореме предыдущего параграфа, производную f ( х) от функции f ( х); тем самым наше утверждение доказано. [16]
Таким образом, выводы предыдущего параграфа в данном случае несправедливы и, стало быть, условия теорем предыдущего параграфа нарушены. [17]
Прежде чем приводить примеры на вычисление емкости некоторых множеств, установим следующий важный результат, из которого вытекают теоремы предыдущего параграфа. [18]
Далее отметим, что у / ( х) с ограниченным изменением сопряженная / ( х) не должна иметь ограниченного изменения, так как в противном случае по теоремам предыдущего параграфа они были бы обе абсолютно непрерывны и имели абсолютно сходящиеся ряды Фурье. Однако ряд а ( /) не должен сходиться абсолютно, даже если / ( х) абсолютно непрерывна, а тем более, если она только с ограниченным изменением. [19]
Совокупность норм N в свою очередь имеет низший предел, который называется низшей нормой внутри Г0дг и который мы обозначим символом t / () ] fir Резюмируя все вышесказанное, приходим к новой формулировке теоремы предыдущего параграфа. [20]
Теоремы об асимптотических точках бифуркации были получены М. А.Красносельским в предположении, что оператор F ( xA) линеаризуем на бесконечности; эти теоремы формулировались в терминах линеаризованного оператора. Теоремы предыдущих параграфов позволяют устанавливать существование асимптотических точек бифуркации по свойствам слабых нелинейностей. [21]
Но это выражение совершенно тождественно выражению, в которое переходит задаваемая формулой ( 28) величина И для одного только газа. Теорема предыдущего параграфа об уменьшении Н в результате столкновений гласит, таким образом, не что иное, как то, что в результате столкновений распределение скоростей между молекулами газа все более и более приближается к наиболее вероятному, если состояние является молекулярно-неупоря-доченным, и к нему, следовательно, применимо исчисление вероятностей. [22]
Основное уравнение (3.1) теории рекуррентных событий является частным случаем так называемого уравнения восстановления, которое появляется в целом ряде разнообразных задач. Мы покажем, что теоремы предыдущего параграфа применимы без существенных изменений и к этому более общему уравнению. Здесь мы дадим чисто аналитический вывод, вероятностной интерпретации и примерам будет посвящен следующий параграф. [23]
Немаксималыюсть теории, как источник существования существенно различных моделей, всегда может быть устранена, по крайней мере теоретически, если мы с помощью 12.6 перейдем к ее максимальным расширениям. Но явления, коренящиеся в теоремах предыдущего параграфа, всегда сохранятся: если теория имеет бесконечную ординарную семантическую модель, то она имеет много существенно различных моделей произвольно больших мощностей. Поэтому в некотором смысле формализованные теории, первого порядка никогда не являются полным описанием какой-нибудь фиксированной бесконечной модели из интуитивной математики. [24]
Было бы интересно провести оценку скорости убывания решений при заданных А0 и цо, доведя эту оценку до точной. Кроме того, отметим, что коэффициенты, фигурирующие в теоремах предыдущего параграфа, по-видимому, не являются точными и могут быть улучшены. [25]
В предыдущем параграфе мы не рассматривали случая периодических цепей; это было сделано только для того, чтобы не усложнять основных формулировок. Характеристика асимптотического поведения J0W в неприводимой периодической цепи может быть легко выведена из теорем предыдущего параграфа, Мы приведем здесь такой вывод, чтобы изложение было исчерпывающим; однако результаты настоящего параграфа в дальнейшем использоваться не будут. [26]
Теорема 7.3 может быть обобщена и в других направлениях. Предположим, например, что для системы (7.1) можно построить направляющие функции, удовлетворяющие всем условиям теорем предыдущего параграфа, кроме одного - их индекс равен нулю. Далее, допустим, что индекс известного периодического решения отличен от нуля. Тогда у системы (7.1) есть еще по крайней мере одно периодическое решение. Эта схема в следующем пункте используется в одном частном случае. [27]
На практике приходится иногда сталкиваться с изображениями, не являющимися ме-роморфными функциями; переход от них к оригиналам не может быть осуществлен ни с помощью формулы (3.83), ни тем более с помощью теорем предыдущих параграфов. [28]
В предыдущем параграфе мы указали некоторые условия, достаточные для того, чтобы замкнутое множество было TW-множеством. Это позволит нам, в частности, судить о том, насколько необходимы те ограничения, которые были введены в теореме предыдущего параграфа. [29]