Cтраница 1
Теорема представления Рисса дает чрезвычайно полезное описание ограниченных линейных функционалов на гильбертовом пространстве через скалярное произведение. [1]
Теорема представления Рисса достаточна для рассмотрения линейных эллиптических уравнений, появляющихся из вариационных задач, т.е. являющихся уравнениями Эйлера - Лагранжа некоторых кратных интегралов. Для исследования общих уравнений дивергентной формы нам потребуется некоторое обобщение теоремы 5.7, данное Лаксом и Мильграмом. [2]
Отсюда в силу теоремы представления Рисса следует, что решение можно представить в виде интеграла Стильтьеса. [3]
При нашем подходе к теории интегрирования теорема представления Рисса представляет собой почти тавтологию. [4]
Что касается дополнений и обобщений, рассмотрим сначала теорему представления Рисса и различные способы ее доказательства. Идея метода состоит в том, чтобы представить всякое компактное пространство Т в виде произведения компактных пространств, каждое из которых настолько просто, что для него теорема представления Рисса почти очевидна, а затем показать, как распространить эту теорему на произведение. [5]
Альтернатива - принять более ортодоксальную, основанную на понятии меры теорию интегрирования, в которой теорема представления Рисса уже не является тавтологией. [6]
Вопрос о существовании классического решения сводится к вопросу о регулярности обобщенного решения при достаточно гладких граничных условиях, В следующей главе при изучении эллиптических уравнений в дивергентной форме будет использована ( точно так же, как только что была использована теорема представления Рисса) теорема Лак-са - Мильграма ( теорема 5.8) и будут установлены, исходя из интегрального тождества, утверждения о регулярности решения. [7]
В силу теоремы представления Рисса ( теорема 5.7) последовательность хп ] элементов гильбертова пространства Ж слабо сходится к xG ЗС, если ( хп, у) - - ( х у) для всех у G ЗС. Следующий результат часто используется при изучении дифференциальных уравнений методом гильбертовых пространств. [8]
Какие функционалы соответствуют конечно аддитивным мерам. Возможности использования аналогов теоремы представления Рисса, в которых рассматриваются интегралы по конечно аддитивным мерам, весьма ограничены. Конечно аддитивные меры иногда ведут себя просто дико. Вспомните причины, побудившие нас в § 4.1 отказаться от обращения к теореме Хана - Банаха в пользу трудоемкого, но конструктивного процесса, в результате которого мы пришли к счетно аддитивным мерам. [9]
Что касается дополнений и обобщений, рассмотрим сначала теорему представления Рисса и различные способы ее доказательства. Идея метода состоит в том, чтобы представить всякое компактное пространство Т в виде произведения компактных пространств, каждое из которых настолько просто, что для него теорема представления Рисса почти очевидна, а затем показать, как распространить эту теорему на произведение. [10]