Cтраница 1
Теорема Пэли - Винера в формулировке Шварца сводится к утверждению, что условия, которым удовлетворяет X, характеризуют ее как преобразование некоторого распределения с компактным носителем. [1]
По теореме Пэли - Винера ( см. § 1.6, а также М. С. Агранович, М. И. Вишик [1]) преобразование Лапласа L ( - t отображает пространство WrZiV на У взаимно однозначно и изометрично. [2]
Обратное утверждение ( теорема Пэли - Винера - Шварца) также верно. [3]
С другой стороны, в силу теоремы Пэли - Винера функция ( t) финитна по /, следовательно, ( t) 0, ибо по предположению класс Адамара C Mn - - m z квазианалити-чен. [4]
Как следствие из этого получаем утверждение, являющееся обобщением теоремы Пэли [9]: если существует матрица Адамара порядка т, то существует матрица Адамара порядка m ( ph), где р - простое, нечетное. [5]
Смешанные условия, а именно такие, где заранее известно, что f ( x) непрерывна и, кроме того, ее коэффициенты удовлетворяют некоторым условиям ( например теоремы Пэли, Саса и некоторые другие-см. [6]
Отметим, что существование функции pr ( g) на группе G, для которой Лг ( р) является преобразованием Фурье и для которой оператор Т вполне непрерывен и имеет след, тесно связано с теоремой Пэли - Винера на G. Эта теорема для случая группы комплексных матриц изложена в вып. Обобщенных функций; случай группы вещественных матриц рассмотрен Эренпрейсом и Маутнером ( см. [6] в библиографии к вып. [7]
Замечание 31.1. Для более подробно обсуждаемой в следующем параграфе тригонометрической системы теоремы 31.1 и 31.2 носят название теорем Харди-Литльвуда и Хаусдорфа-Юнга соответственно, по именам математиков, установивших их для упомянутой системы до того, как были получены теоремы Пэли и Рисса. [8]
Существует интересная связь между двумя внешне далекими явлениями: с одной стороны, зависимостью свойств функции, представимой рядом Дирихле ( речь идет в основном о распределении ее особенностей), от арифметической природы показателей этого ряда и, с другой стороны, поведением функции класса А ( А - класс, образуемый преобразованиями Фурье функций из L) с компактным носителем, или ( что, в силу теоремы Пэли - Винера, то же самое) поведением целой функции экспоненциального типа, интегрируемой на вещественной прямой. [9]
В основе подхода, развитого Н. Д. Введенской и С. Г. Гиндики-ным, лежат следующие теоретические соображения. Если воспользоваться аналогом теоремы Пэли - Винера для преобразования Радона [7], то удается показать, что для случая, когда носитель функции g ( r) не ограничен, классическая формула инверсии Радона единственна. [10]
Полное рассмотрение необходимых и достаточных условий для выполнения этого соотношения проведено в книге Хермандера [ 7, гл. Доказательство опирается на один из вариантов теоремы Пэли - Винера - Шварца. [11]
Мы не будем затрагивать ряд других важных проблем, которые не относятся к вопросам сходимости, как, например, вопросы, связанные с теоремой Юнга-Хаусдорфа или с теоремой Пэли. [12]
Элементы из D естественно рассматривать как функции п комплексных переменных, и как таковые они представляют собой в точности те целые аналитические функции на C. J экспоненциального типа, которые быстро убывают на Ra. Такая характеризация этих функций следует из теоремы Пэли - Винера - Шварца. [13]
Вследствие ограниченного объема не были затронуты некоторые вопросы, такие как: биортогональные системы, двумерные вейвле-ты, отсутствует также и подробное описание приложений. Это означает, что в книге отсутствует описание пространств Соболева, нет обсуждения поточечной сходимости, нет также аппроксимации веивлетов и теоремы Пэли - Винера. К счастью, имеется одно благоприятное обстоятельство, заключающееся в доказательстве того, что вейвлеты Добеши на самом деле имеют компактный носитель. [14]
Указанные теоремы играют основную роль в теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Хотя в теореме Лионса не содержится никакого упоминания о преобразовании Фурье, но ее доказательство и ее приложения тесно с ними связаны. Теорема Пэли - Винера является центральной теоремой гармонического анализа. [15]