Cтраница 1
Теоремы регулярности для одного класса функциональных уравнений ( итал. [1]
Укажем простейшую теорему регулярности, которая относится к системе, состоящей только из строгих выпуклых неравенств. [2]
Это неравенство является обобщением теоремы регулярности 8.3, которая была доказана в гл. [3]
Оценка максимума нормы кривизны получается теперь из теоремы регулярности точно так же, как в предыдущем предложении. [4]
Как следствие мы получаем более точную форму теоремы регулярности для эллиптических операторов. [5]
Как мы знаем, (4.1) приводит к теореме регулярности, а (4.2) к теореме существования с точностью до конечного числа линейных условий. [6]
Для установления результатов, касающихся псевдоинвариантности, полезно доказать сначала теорему регулярности для решений дифференциального уравнения. Эта теорема интересна также сама по себе. Мы сформулируем и докажем ее впоследствии для дифференциальных уравнений типа Ка-ратеодори, часто встречающихся в теории управления. [7]
Все остальные теоремы этого параграфа решают, по существу, одну и ту же проблему: для систем типа (5.1), (5.2) ( в которых будут допускаться и нестрогие неравенства) они указывают те или иные условия, при которых имеет место соотношение (5.3), где число yi, соответствующее выделенному строгому неравенству ( далее оно помечается индексом г 0), положительно. Такого рода утверждения называются теоремами регулярности. Мы увидим в главе 4, сколь важна их роль при исследовании задач математического программирования. [8]
Например, в случае тора или р-тора имеются сильные теоремы регулярности, которые дают ясные и окончательные ответы на сформулированные выше вопросы [ С 24J Однако для всех остальных компактных групп. [9]
Очень хорошо известно, что тогда функция и на самом деле принадлежит С00 ( Q) хотя бы потому, что каждая вещественная гармоническая функция в И является ( по крайней мере локально) вещественной частью некоторой голоморфной функции. Теоремы такого типа, в которых устанавливается, что каждое решение некоторого дифференциального уравнения обладает большей гладкостью, чем это ясно заранее, называются теоремами регулярности. [10]
Компактность пространства модулей доказывается в гл. Вначале мы показываем, что решения автодуальных уравнений регулярны. Это выводится из теоремы регулярности, справедливой для произвольных нелинейных эллиптических уравнений. [11]
Напомним, что точками пространства модулей являются орбиты решений автодуальных уравнений Янга - Миллса. Обычно теоремы компактности для решений нелинейных эллиптических задач получаются непосредственно из слабой компактности соболевских пространств, но в нашей ситуации наличие калибровочной симметрии требует привлечения дополнительных аргументов. Из существования таких калибровок, называемых калибровками Кулона, немедленно следует теорема регулярности для автодуальных связностей. Используемые здесь методы можно применить в весьма общей ситуации для доказательства внутренней регулярности эллиптических уравнений, поэтому мы излагаем их во всех подробностях. Глобальная компактность получается склеиванием локальных результатов. Техника склеивания и доказательство существования калибровок Кулона изложены в работе С И и мы не будем воспроизводить их здесь. [12]
К сожалению, условия регулярности подобного типа ( см. также теорему 2.5 и задачу 5) труднопроверяемы, так как, помимо прочего, они формулируются в терминах самой точки минимума х, которую и требуется найти. Более удобные условия регулярности удается получить в рамках задачи с выпуклыми ограничениями-неравенствами и линейными ограничениями-равенствами. В следующей теореме приводится группа таких условий. Фана используется одна из ее модификаций, как раз и называемых теоремами регулярности. [13]