Cтраница 2
До сих пор процедура сравнения рассматривалась только как часть метода подстановки, но она является также существенной частью трех других методов. Например, в методе отделения ищется теорема вида А - - В, где В совпадает с доказываемым выражением. Вероятность найти такую теорему ничтожно мала, если мы не разрешим изменять в дальнейшем В до совпадения с доказываемым выражением. Следовательно, как только некоторая теорема выбирается из списка теорем, ее правая часть должна сравниваться с доказываемым выражением. Аналогичная процедура используется в методах цепеобразования. [16]
ТО, ЧТО некоторые понятия можно выразить при помощи простых манипуляций типографскими символами, кажется довольно странным До сих пор мы передали таким образом лишь понятие сложения, и это, возможно, не показалось нам удивительным. Предположим, однако, что мы захотим создать формальную систему с теоремами вида Рх, где х было бы строчкой, состоящей из тире, Количество этих тире должно было бы выражаться простым числом. [17]
Тогда учитывая, что vm и wn - произвольные векторы, в силу теоремы вида 1 заключаем, что Атп является ковариантным тензором второго ранга. [18]
Тогда учитывая, что ит и wn - произвольные векторы, в силу теоремы вида 1 заключаем, что Атп является ковариантным тензором второго ранга. [19]
Этот метод, используя правило отделения, пытается заменить доказываемое выражение новой подзадачей, при решении которой получается доказательство исходного выражения. Таким образом, если доказываемое выражение есть В, метод отделения ищет аксиому или теорему вида А - - В. Если таковая найдена, А считается новой подзадачей. Теперь если можно доказать А, то, поскольку Л - - В - теорема, В также будет доказано. [20]
Эти методы используют транзитивность отношения импликации ( - -) для создания новых подзадач, решение которых дает доказательство исходной задачи. Таким образом, если подлежащее доказательству выражение имеет вид а-э-с, метод прямого цепеобразования ищет аксиому или теорему вида а-6. Если такая теорема найдена, выражение Ь - - с становится новой подзадачей. Метод обратного цепеобразования работает аналогично: он ищет теорему вида Ь - - с, и, если таковая найдена, выражение а - Ь становится новой подзадачей. [21]
Это настолько важный момент, что мы остановимся на нем поподробнее. В нашей системе S ( включающей систему иг и правила, определяющие теоремы типа S) у нас есть теоремы вида Sx, где х, как обычно, обозначает строчку тире. В ней имеются также не-теоремы вида Sx. Говоря о не-теоремах, я имею в виду именно эту разновидность, хотя, конечно, существует множество не-теорем в виде неправильно сформированных строчек: и и - S r г и пр. Между теоремами и не-теоремами есть следующая разница: количество тире в первых - составное число, во вторых - простое. К тому же, все теоремы похожи по форме, гак как все они выведены при помощи одного и того же набора типографских правил. Можем ли мы сказать, что в этом смысле все не-теоремы также имеют что-то общее в форме. Ниже приводится список теорем типа S, без их вывода. Число в скобках указывает на количество тире в соответствующей теореме. [22]
Пожалуй, стоит отметить, что в последней фразе теоремы 7.2.3 содержится некоторое высказывание из теории интерполяции целых функций. Если / л д, то, конечдо, A ( z) g ( z) и это утверждение ничего не содержит. Но существование функции A ( z) утверждается для какой угодно функции / ( z) t имеющей особенность только при zl, если только функция g ( z) является функцией требуемого в теореме вида. [23]
Эти методы используют транзитивность отношения импликации ( - -) для создания новых подзадач, решение которых дает доказательство исходной задачи. Таким образом, если подлежащее доказательству выражение имеет вид а-э-с, метод прямого цепеобразования ищет аксиому или теорему вида а-6. Если такая теорема найдена, выражение Ь - - с становится новой подзадачей. Метод обратного цепеобразования работает аналогично: он ищет теорему вида Ь - - с, и, если таковая найдена, выражение а - Ь становится новой подзадачей. [24]
А истинна, и попробуем вывести из этого предположения, что заключение В тоже истинно. Если нам это удастся, мы тем самым докажем, что не имеет места единственный случай ложности импликации ( А истинно и В ложно) и что, следовательно, теорема ( 19) истинна. Разумеется, если нам не удастся из предположения об истинности Л вывести истинность В, то отсюда еще не следует, что теорема ( 19) ложна. Отсюда следует только одно из двух: или теорема ( 19) ложна, или мы просто не сумели доказать, что она истинна. Заметим, что когда мы, доказывая теорему ( 19) по только что указанному пути, предполагаем, что посылка А истинна, мы вовсе не утверждаем, что она действительно истинна. Мы просто доказываем, что если она истинна, то заключение В тоже истинно. При этом на самом деле посылка А может быть ложной. Если посылка А ложна, теорема ( 19) тем более истинна, истинна тривиальным образом. Заметим еще, что если посылка А теоремы ( 19) ложна, то мы, доказывая теорему ( 19), не обязаны это замечать. Если мы, доказывая теорему ( 19) с ложной посылкой, выведем из предположения об истинности А истинность В, мы, разумеется, тоже докажем истинность теоремы ( 19), хотя, конечно, в рассматриваемом случае ( посылка А ложна) более простым, более естественным, более изящным путем доказательства было бы доказательство ложности А. В заключение еще раз подчеркну, что указанный путь доказательства теорем вида ( 19) ( предположим, что А истинно; докажем, что В истинно) является, с одной стороны, главным и наиболее часто встречающимся, но, с другой стороны, не обязательным, не единственным путем доказательства. [25]