Теорема - такенс
Cтраница 1
Теорема Такенса требует, чтобы отображение динамической системы было по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемо. [1]
Таким образом, из теоремы Такенса не следует, что вектора (11.4) всегда позволяют исследовать свойства динамической системы по временному ряду. Такое исследование возможно лишь как правило, из которого всегда есть исключения. [2]
Более того, доказательство теоремы Такенса не требует даже, чтобы временные сдвиги между компонентами были одинаковы. В принципе, можно даже поставить задачу оптимизации набора задержек, однако неясно, насколько существенный выигрыш можно получить. [3]
Коразмерность множества топологически нестабилизируе-ных струй в теореме Такенса ( рассматриваемого как подмножество пространства струй с особой точкой 0) равна трем. Топологическая классификация ростков векторных полей, принадлежащих некоторому подмножеству коразмерности 6, может даже иметь числовые модули. [4]
Следовательно, трехслойные сети фактически воплощают основное требование теоремы Такенса: проецирование аппроксимация. Комбинация двух проекторов эквивалентна некоторому третьему проектору, а комбинация двух линейных аппроксимаций снова дает линейную аппроксимацию. [5]
На рис. 6.136 видно, что размерность достигает асимптотического значения d 2 5 после m - 4 - 5, что согласуется с теоремой Такенса. [6]
Предположим, что при обработке сигнала, поступившего от черного ящика, установлено, что ему соответствует конечномерный аттрактор размерности D. Тогда, согласно теореме Такенса, его можно вложить в пространство размерности N [ 2D 1 ] 1, где квадратные скобки означают целую часть числа. Это значит, что в принципе можно обеспечить адекватное описание динамики на аттракторе системой дифференциальных уравнений размерности N для случая непрерывного времени или JV-мерным отображением в случае дискретного времени. [7]
Лоренца, - ыло взято 107 точек на аттракторе с шагом т 0 2, равным запаздыванию в реконструкции, и рассчитаны расстояния от случайно выбранной точки на аттракторе хо ( Ю 27, 8 91, 30 79) и ее образа ZQ А ( ХО) в 12-мерной реконструкции до всех точек траектории. При m 12, с одной стороны, выполнены условия теоремы Такенса и FNN отсутствуют, а с другой стороны, интервал между началом и концом z - вектора w ( m - 1) т достаточно велик, чтобы начали образовываться складки. Заметим, что для аттрактора Лоренца необходимы специальные усилия, чтобы эффекты, типичные для систем большой размерности, стали заметны. [9]
Если такую систему дополнить механизмом возвращения выброшенной траектории обратно к многообразию, то будет реализован хаотический режим, перемежающийся редкими выбросами. Кстати, авторы [343] специально отмечали, что их работа была навеяна аналогиями с солнечными циклами, рыночными ценами акций и развитием биологических видов, а также тем, что для таких режимов скорее всего будет неприменима теорема Такенса ( о ней речь будет идти в главе, посвященной реконструкциям аттракторов), поскольку траектория много времени проводит на инвариантном многообразии, а поэтому она не способна характеризовать направления, в которых ее выбрасывает неустойчивость. [10]
Обычно первые два фактора менять невозможно. Для отображений фиксирован и временной шаг. Относительно размерности вложения m теорема Такенса требует только, чтобы она не была слишком мала; верхней границы, с точки зрения теоремы, нет. Поэтому можно сформулировать задачу оптимального выбора параметров реконструкции, так чтобы получаемый набор реконструированных векторов был наиболее информативен. [11]
Функция Z рассчитывает, сколько точек находится на расстоянии е друг друга. Согласно теории, Ст должно увеличиваться со скоростью е, где D - корреляционная размерность фазового пространства, которая близко связана с фрактальной размерностью. Вычисление корреляции требует от нас знания того, как выглядит фазовое пространство. В реальной жизни мы не только не знаем факторы, задействованные в системе, мы даже не знаем, сколько их. Обычно у нас есть только одна наблюдаемая величина, например, изменения курса акций. К счастью, в теореме Такенса ( Takens, 1981) говорится, что мы можем воссоздать фазовое пространство, задерживая один временной ряд, который мы имеем, для каждой размерности, которая, как мы думаем, существует. Если число размерностей вложения больше, чем фрактальная размерность, корреляционная размерность стабилизируется к одному значению. [12]
Первоначально для выбора задержки использовали качественную идею о том, что если компоненты, образующие вектор, будут независимы друг от друга, то реконструированные вектора будут нести в себе наибольшее количество информации о системе. Далее по построенным гистофаммам рассчитываются энтропии и взаимная информация. Для простых модельных систем вроде системы Лоренца почти любой разумный выбор т был если и не хорош, то и не плох. Для более сложных систем, в которых нет одного ярко выраженного псевдопериодического поведения оказалось, что данные методики иногда просто невозможно использовать, поскольку автокорреляционная функция может вовсе не иметь первого нуля, а функция взаимной информации - первого минимума. Иногда ноль или минимум есть, но в качестве т оказывается далеко не оптимальным. Детали здесь опять таки излагать мы не будем, опишем только важнейшие из них. Самым интересным, пожалуй, оказалось то, что на качество реконструкции влияет не сама по себе величина т, а временной интервал, захватываемый вектором z - между последним и первым его элементами. Ниже мы будем предполагать, что т достаточно велико, чтобы удовлетворять условию теоремы Такенса. [13]
Страницы: 1