Cтраница 1
Теорема Уайтхеда ( упомянутая в первой главе, но не использовавшаяся в книге) утверждает, что отображение /: X Y односвязных клеточных пространств) является гомотопической эквивалентностью в том и только в том случае, когда индуцированный гомоморфизм f: Я, ( X) - Я, ( Y) является изоморфизмом. [1]
Теорема Уайтхеда означает, что гомотопические группы в некотором смысле полностью характеризуют гомотопический тип клеточного комплекса. Но не нужно понимать это утверждение буквально: из совпадения у двух клеточных комплексов гомотопических групп никак не следует их гомотопическая эквивалентность, надо, чтобы изоморфизм гомотопических групп устанавливался непрерывным отображением. [2]
Поэтому из теоремы Уайтхеда следует, что Wik - M / G - гомотопическая эквивалентность, см. [ С 9, стр. [3]
Согласно одной теореме Уайтхеда [39, 26] всякое компактное гладкое ( С00 -) многообразие наделено канонической pi - структурой, единственной с точностью до объемлющей изотопии. В эту pi - структуру входит и С1 - триангуляция. В размерностях 2 и 3 каждое топологическое многообразие наделено как pi - структурой, так и гладкой структурой, и каждая из этих структур единственна с точностью до объемлющей изотопии. В размерности 4 каждое компактное pi - многообразие наделено гладкой структурой, однако есть замкнутые топологические многообразия, на которых нет pi - структур. [4]
Обсудим теперь доказательство теоремы Уайтхеда. Основная лемма этого доказательства по Хиггинсу и Линдону состоит & следующем. [5]
Так как этот изоморфизм индуцирован вложением то по теореме Уайтхеда гомоморфизм 2ff - / ( X) - является эпиморфизмом, что и требовалось. [6]
Если М0, Мг и W односвязны, то, согласно теореме Уайтхеда ( см. приложение А), W будет / г-кобордизмом, если относительные группы гомологии Я ( W, М0) и Ht ( W, М) тривиальны. [7]
Теорема 4 ( так же как и общая теорема 3) известна как теорема Уайтхеда, который впервые ее доказал. [8]
Как и выше, стягиваемость и G-инвариант-ность компоненты Q0 влечет, что вложение Л 0 - - M ( G) индуцирует изоморфизм всех гомотопических групп и, в силу теоремы Уайтхеда [1], является гомотопической эквивалентностью. [9]
Доказательство леммы следует из существования непрерывного отображения /: М - М2, индуцирующего изоморфизм ni ( М ] ni ( М2) ( см. Ху Сы Цзян [ 1J), и теоремы Уайтхеда ( см. Спеньер f ], § 5 гл. [10]
Так как р: Я ( Х ( 1); Q) - Я / ( Х; Q) есть изоморфизм при / 1 и мономорфизм при / 2, вертикальные отображения являются изоморфизмами ( теорема Уайтхеда) ввиду 7.10 и 8.12. Поскольку Я ( X ( 1); Q) - свободная коммутативная алгебра, образующие которой лежат в Я1 ( Х ( 1) Р), нижнее отображение v является изоморфизмом ввиду 8.13. Тогда верхнее v является изоморфизмом, что и требовалось. [11]
Стрелки схемы ( 1), кроме трех нижних и стрелок П - - ТОР - - Р, изображают функторы структуры забывания. Стрелка Diff - - PL изображает теорему Уайтхеда о триангулируемости гладких многообразий. В размерностях 8 эта стрелка обратима ( любое PL-многообразие сглаживаемо), но в размерностях 8 существуют несглажнваемые PL-многообразия и даже PL-многообразия, гомотопически неэквивалентные никакому гладкому многообразию. При этом уже для сферы S, л 5, существуют триангуляции, в к-рых она не является PL-многообразием. [12]
Нилыютентные действия важны в исследованиях по алгебраической топологии. Говорят, что пространство является нильпотентным, если все эти действия являются нильпотентными; в частности, группа G в этом случае также является нильпотентной. Теорема Уайтхеда о гомотопической эквивалентности односвязных CW-комплексов обобщает -; ся на нильпотентные пространства. [13]