Cтраница 2
Применение конформного отображения к решению проблем потоков таит в себе большие опасности, которые можно избежать, зная свойства, ограничения и возможности таких отображений. С этой целью ниже перечислены и затем рассмотрены некоторые наиболее важные теоремы о конформном отображении. [16]
Сборник построен таким образом, что вначале изучаются основные понятия и идеи методов вычислительной математики, а затем на их основе рассматриваются современные методы решения практических задач. В первом параграфе каждой главы формулируются основные понятия теории, наиболее важные теоремы, необходимые для решения предлагаемых задач. Для ряда задач даны полные и подробные решения, для других только указания и ответы. [17]
Любопытно то обстоятельство, что к концу века некоторые ведущие математики высказывались в том смысле, что область математических исследований как бы истощена. Труды и усилия Эйлера, Лагранжа, Даламбера и других уже дали наиболее важные теоремы, эти результаты в должном оформлении изложены или в скором времени будут изложены в классических трактатах, и немногочисленные математики следующего поколения должны будут решать только задачи меньшего значения. [18]
Просматривая оглавление книги, читатель бесспорно заметит, что результаты о двудольных графах, представленные в гл. Желая избежать распыления результатов о двудольных графах по всей книге, мы первую главу посвящаем целиком именно двудольным графам. Исторически так сложилось, что ряд наиболее важных теорем о двудольных графах был сначала получен исключительно для них, и лишь позднее эти утверждения были выведены как следствия из более общих, недвудольных, теорем. Кроме того, мы полагаем, что основные приложения теории паросочетаний в реальном мире приводят к моделям, представляющим собой как раз двудольные графы. [19]
Почти во всех задачах оптики, в которых не рассматривается лазерный свет, исходный источник света представляет собой протяженную совокупность независимых излучателей. Такой источник можно с приемлемой точностью рассматривать как некогерентный в смысле определения, данного в предыдущем параграфе, лишь при условии, что оптические элементы, через которые проходит свет, не способны разрешить отдельные излучающие элементы источника. Характер функции взаимной когерентности, создаваемой некогерентным источником, полностью описывается теоремой Ван Цпттерта - Цернике, которая, несомненно, является одной из наиболее важных теорем современной оптики. [20]
Тогда говорят, что f непрерывно продолжается, или, короче, продолжается на пространство X; отображение F называется продолжением отображения f на X. Не всякое непрерывное отображение, определенное на некотором подпространстве, имеет непрерывное продолжение на все пространство. Теоремы, дающие достаточные условия продолжимости непрерывных отображений или непрерывных вещественных функций, принадлежат к наиболее важным теоремам топологии и обычно достаточно трудны. Заметим, что лемма Урысона может быть переформулирована как теорема такого типа. [21]
Четвертая проблема комбинаторной теории многогранников охватывает комплекс задач, связанный с поиском эффективного способа перехода от одной формы задания многогранника к другой. Для перехода от аналитической формы задания к параметрической необходимо найти все вершины многогранника. В некоторых случаях это удается сделать в явном виде, но чаще изучаются только свойства вершин. Особенно важно бывает установить целочисленность координат всех вершин многогранника; такие многогранники называются целочисленными. Целочисленные многогранники играют фундаментальную роль в целочисленном программировании. Задача описания всех систем линейных неравенств, задающих целочисленные многогранники, не решена. Однако уже вскрыта глубокая связь между целочисленными многогранниками и многими важными проблемами теории графов и гиперграфов, такими, как сильная гипотеза Бержа о совершенных графах ( § 5 гл. Любой результат, касающийся целочисленных многогранников, автоматически влечет серию результатов в теории графов. IV практически все наиболее важные теоремы о покрытиях и паросочета-ниях в графах, такие, как теорема Кенига, Уитни, Менгера, Гейла и др. выводятся из свойств целочисленных многогранников. Многие ставшие хорошо известными теоремы о матроидах и полиматроидах также выводятся из свойства целочисленности соответствующих многогранников. IV понятие а-модулярных матриц дает возможность расширить известные ранее классы целочисленных многогранников. IV предпринимается систематическое изучение также классов многогранников, у которых часть вершин с целыми координатами обладает определенными свойствами, позволяющими решать задачи целочисленного программирования алгоритмами симплексного типа. Среди таких многогранников оказались такие важные для приложений задачи, как задача о / 7-медиане, об упаковке ребер гиперграфа, о размещении. [22]