Cтраница 1
Арифметическая теорема принадлежит Лагранжу. За доказательством мы отсылаем читателя к книге Харди и Райта [ 1, стр. [1]
В качестве примера арифметической теоремы, требующей некоторых дальнейших понятий, мы рассмотрим теорему Эвклида о том, что существует бесконечно много простых чисел. [2]
В основу исследования положена открытая им ранее арифметическая теорема монодромии: шиютт всех, групп инерции нормального поля есть вся группа Галуа того поля. [3]
Чебышев при встрече сообщил мне об одной арифметической теореме, которая меня живо заинтересовала. [4]
Поэтому я считаю, что не отклонюсь в сторону, если уделю здесь место этой замечательной арифметической теореме, тем паче, что изложенное здесь решение задачи не будет вполне законченным без доказательства этой теоремы. [5]
Даже если не говорить о всем письме, приведенный отрывок свидетельствует, что уже в 1890 г. или даже ранее Дедекинд осознал некатегоричность системы аксиом Пеано, причем ясно понимал и возможность существования, как мы сказали бы теперь, нестандартных арифметик; более того, слова я мог бы выбрать эту систему так, что для нее вряд ли сохранилась хотя бы одна арифметическая теорема свидетельствуют о том, что он мог строить такие нестандартные арифметики. [6]
Мы только что видели, что если два измерения параллелепипеда остаются постоянными и изменяется только третье измерение, то объем параллелепипеда будет пропорционален этому третьему измерению. Доказываемое предложение представляет собой приложение следующей общей арифметической теоремы: величина, пропорциональная нескольким величинам в отдельности, пропорциональна их произведению. [7]
Кроме того, строение известных формул а такого сорта очень сложное; они очень длинны, и практически было бы трудно присоединять их к множеству аксиом. Однако нужно заметить, что среди этих формул а существуют такие, которые, будучи надлежащим образом переведены на язык математики, выражают собою важные мета арифметические теоремы. [8]
Однако надежды Гильберта и его последователей были перечеркнуты, когда в 1931 году блестящий австрийский логик математики Курт Гедель выдвинул поразительную теорему, которая до основания разрушала программу Гильберта. Гедель показал, что любая подобная точная ( формальная) система аксиом и правил вывода, если только она достаточна широка, чтобы содержать в себе описания простых арифметических теорем ( как, например, последняя теорема Ферма, рассмотренная в главе 2), и если она свободна от противоречий - то такая система должна включать утверждения, которые не являются ни доказуемыми, ни недоказуемыми в рамках формализма данной системы. Истинность таких неразрешимых утверждений, следовательно, не может быть выяснена с помощью методов, допускаемых самой системой. Более того, Гедель смог показать, что даже утверждение о непротиворечивости системы аксиом, будучи переведенным в форму соответствующей теоремы, само по себе является неразрешимым. [9]
Большая часть работ Минковского посвящена теории чисел, но я не считаю себя вправе о них рассказывать. Я прочитал, и как раз перед приездом в Геттинген, только один из его арифметических трудов под названием Диофантовы приближения, связанные с его лекциями, прочитанными зимой 1903 / 04 г. В нем, как и в большом произведении Минковского Геометрия чисел, арифметические теоремы были получены из геометрических соображений; именно здесь и, в частности, с помощью сетки точек с целочисленными координатами на плоскости. [10]
О рациональной эквивалентности квадратичных форм имеются сильные и глубокие результаты Хассе и Минковского. Приложение этих результатов к (10.3.1) и дает теорему 10.3.1. Работа Човла - Райзера, которой мы в основном будем следовать, дает более элементарное доказательство теоремы 10.3.1, хотя для других целей нам нужны результаты Хассе - Минковского во всей полноте. Для доказательства теоремы нам понадобятся одна арифметическая теорема и одно тождество. [11]
В ней был предложен новый метод получения арифметических теорем через рассмотрение свойств плоскости Лобачевского. [12]
Из этой цитаты видно, что Дедекинд полагал, что если при рассмотрении просто бесконечной системы отвлечься от природы элементов и считать их только упорядоченными условиями a, J3, Т, § т то получатся те самые добропорядочные числа, которые известны из обычной арифметики, и тем самым будет решена поставленная им задача теоретико-множественного обоснования этой науки. В [3] он умолчал ( или тогда еще не знал этого), что его может обеспокоить вопрос о существовании и единственности множества натуральных чисел, удовлетворяющих обычным теперь аксиомам, но это его беспокойство отчетливо проявилось несколько лет спустя, хотя оно опять-таки не нашло никакого отражения ни в последующих переизданиях рассматриваемой книги, ни в других работах Дедекинда, а осталось лишь в его эпистолярном наследии. Но такая система S есть, очевидно, нечто совершенно отличное от нашей числовой последовательности N, и я мог бы выбрать эту систему так, чтобы для нее вряд ли сохранилась хотя бы одна арифметическая теорема. [13]
Вернемся к Конгрессу математиков в Париже 1900 г., почетным президентом которого был единодушно избран Эр-мит. И многое из того и другого было связано с именем Эрмита, деятельностью его самого или его учеников. В знаменитых проблемах Гильберта Эрмит фигурировал и явно и неявно. Явно - в VII проблеме ( Иррациональность и трансцендентность некоторых чисел) [ III, 221, с. Гильберт сказал: Арифметические теоремы г. Эрмита об экспоненциальной функции и их обобщение, принадлежащее г. Линдеману, конечно, будут предметом восхищения всех будущих поколений математиков. [14]