Cтраница 1
Стандартная теорема об изоморфизмах показывает, что U / ( U П Я) HU / H G / H. В левой части стоит разрешимая группа ( так как группа U разрешима), тогда как в правой части - ее коммутант ( так как группа G совпадает со своим коммутантом), следовательно, G Я. [1]
Проверка стандартных теорем о гомоморфизмах предоставляется читателю в качестве легкого упражнения. [2]
Для таких ОДУ справедлива стандартная теорема существования и единственности решений, по крайней мере локальная. [3]
Эта теорема вытекает из стандартных теорем о дифференциальных неравенствах. [4]
Равенство ( 3) вытекает теперь из стандартной теоремы о равенстве детерминанта произведения матриц произведению детерминантов сомножителей. [5]
Фа ( х) аох aaiXn - l art - Доказательство следующего предложения опирается на три стандартных теоремы о группах когомологий. Мы только сформулируем эти результаты; наброски их доказательств приведены в упражнениях. [6]
В случае векторных координат, описывающих точечные, линейные и площадные объекты, для определения расстояний может использоваться серия модификаций стандартной теоремы Пифагора. Вначале вспомним исходную формулу для эвклидова или прямолинейного расстояния между двумя точками. [7]
Ясно, что в смысле обычной сходимости последовательность Dn не стремится ни к какому пределу, поэтому, исследуя интеграл ( 7), мы не могли применить какие-либо стандартные теоремы о предельном переходе под знаком интеграла. [8]
Нарушение единственности решения задачи Коши связано с тем, что определяемая уравнением принципа максимума ( 6) зависимость V ( х, ф, g) при некоторых значениях аргументов не удовлетворяет условию Липшица ( с показателем 1), обеспечивающему применение стандартной теоремы единственности. Типичным является, например, наличие разрывов в V ( х, ф, g) при особых значениях аргументов. И хотя почти для всех х, ф, g зависимость V ( х, ф, g) непрерывна и дифференцируема, упомянутых разрывов часто оказывается достаточно для того чтобы лишить описанную выше формальную процедуру решения краевой задачи для П - системы всяких шансов на успех. [9]
В следующем параграфе будет дано доказательство теоремы Тзена - центрального результата этой главы. Ключевой шаг ее доказательства опирается на одну стандартную теорему алгебраической геометрии. [10]
В § § 2 - 5 мы изучаем только влияние условия конечной компактности. Для тех, кто пожелает подойти к рассматриваемым здесь вопросам с позиций классической дифференциальной геометрии, мы показываем сначала, что некоторые стандартные теоремы теории и-мерных пространств, касающиеся равномерной непрерывности, существования экстремумов и выбора подпоследовательностей, вытекают из конечной компактности. Для остальных достаточно будет просто учесть терминологию, которая слегка отличается от принятой другими авторами. [11]
С этой целью в § 3 приводится обобщение спектральной последовательности Лере расслоения на относительные когомологии, содержащее относительные прямые образы пучков. Относительные прямые образы пучков, возникающие в нашей геометрии, вычисляются в явном виде. Затем с помощью стандартных теорем комплексной геометрии о тривиальности когомологии удается доказать, что спектральная последовательность вырождается. [12]
А и Б) приводятся результаты двух типов. В формулах первого типа спектральные величины представляются в виде интегралов по пространственной координате, причем подынтегральное выражение содержит собственные функции у о ( х, k) и соответствующие нелинейные интегро-дифференциальные комбинации функций мО ( ж), а в формулах второго типа, наоборот, соответствующие интегро-дифференциальные комбинации функций и - П ( х) представляются в виде интегралов до спектру. Снова подынтегральные выражения содержат собственные функции ( хотя теперь удобнее их выбрать по-другому, см. ниже) и соответствующие существенно нелинейные комбинации спектральных величин. Первый тип формул мы называем интегральными соотношениями вронскиана, так как их прототип является прямым следствием стандартной теоремы вронскиана; формулы второго типа будем называть спектральными интегральными соотношениями. [13]