Cтраница 1
Теория собственных значений, собственных векторов имеет приложение при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами по методу Эйлера. [1]
В третьей главе коротко излагаются основы теории собственных значений, собственных векторов, присоединенных векторов матриц; собственных значений и собственных функций операторов; собственных значений и собственных осей тензора 2-го ранга. Рассматриваются тензоры 3-го и 4-го рангов. [2]
Один из методов доказательства основан на вариационной теории собственных значений, развитой Фишером и Курантом. [3]
Хотя предполагается, что читатель знаком с основами матричного исчисления и теории собственных значений, переходя к методам решения, напомним их основные положения. [4]
Создание новых ветвей анализа и выявившиеся при этом замечательные аналогии в разных областях алгебры, геометрии и анализа: возникновение теории общих ортогональных и биортогональных систем и ее аналогия с разложением векторов по осям ( в создании этой теории выдающуюся роль сыграли работы математиков петербургской школы: введение П. Л. Чебышевым общих ортогональных систем, первые примеры биортогоиальных систем П. Л. Чебышева и А. А. Маркова, работы А. М. Ляпунова и В. А. Стеклова о полноте ортогональных систем); возникновение теории интегральных уравнений Фредгольма и ее аналогия с теорией систем линейных алгебраических урагнений; развитие, теории собственных значений для краевых задач дифференциальны, -, а затем-для интегральных уравоений и ее аналогия с приведением квадр. Эти аналогии заставляли искать общие объединяющие концепции, характерные для функционального анализа. [5]
Каждый из этих методов имеет свои особые преимущества. Шмидта и др. предлагает очень изящный подход к теории собственных значений. При достаточной компактности она дает много фактического материала ( например, теорема о разложении произвольной функции) и с одинаковым успехом приводит к цели как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, так и в случае уравнений с частными производными. Трудности при этом переносятся на предварительную стадию, а именно на составление уравнений. В теории предполагается существование функции Грина, а следовательно, и ядра интегрального уравнения, но на вопрос о существовании решения эта теория в общем виде ответа не дает. В рамках теории интегральных уравнений решаются задачи одночленного класса ( § 7); общие задачи на собственные значения приводят к интегро-дифференциальным уравнениям, которые математикой освоены недостаточно. [6]
В 1939 г. Л юс т ерник доказывает [ П ] существование бесконечного множества собственных значений для некоторых классов нелинейных операторных уравнений. Эти результаты являются развитием идей, использованных Л ю с т е р н и к о м [4] еще в 1930 г. для построения теории собственных значений форм четных степеней. [7]
Всего лишь тридцать лет тому назад и физик и инженер могли превосходно обходиться знанием классических результатов дифференциального и интегрального исчисления. Но в наши дни, когда изучение новых теорий все чаще требует владения весьма разнообразным математическим аппаратом, физик и инженер должны знать многочисленные и часто недавно развитые разделы математики, например тензорный анализ, матричный анализ, символическое исчисление Хевисайда, теорию собственных значений, подчас даже теорию интегральных уравнений и теорию групп. Однако преподавание математики в институтах и высших школах до сих пор недостаточно приспособлено к новым потребностям в аналитических знаниях тех, кто интересуется приложениями. [8]
Проблема поведения дзета-функции Эйлера - Римана в критической полосе, другими словами, когда действительная часть ее аргумента меняется в интервале ( О, 1), в особенности проблема распределения ее нулей, является одной из труднейших и интереснейших проблем математического анализа. С решением этой проблемы тесно связано также решение центральной проблемы аналитической теории чисел - распределения простых чисел в натуральном ряде и многих других теоретико-числовых проблем. В последние годы к тому же выяснилось, что функции типа дзета-функции играют существенную роль в теории собственных значений некоторых классов дифференциальных уравнений. [9]
Этот, на первый взгляд, парадоксальный факт объясняется ранним развитием у нас топологии и ее влиянием на функциональный анализ. Вариационные методы теории собственных значений в этих исследованиях распространялись на обширный класс функций и функционалов значительно более сложной природы, чем квадратичные формы. [10]
Все эти изменения перечислены на стр. Этот список содержит также для каждого класса матриц наиболее полную информацию о расположении их собственных чисел. Нас в особенности интересуют симметрические матрицы: где расположены их собственные значения и чем характеризуются их собственные векторы. С точки зрения практики это наиболее важные вопросы в теории собственных значений и, следовательно, этот параграф является наиболее важным. [11]
Обширную литературу, посвященную этим вопросам, можно просто игнорировать. Якоби, в которой содержится ключ к разгадке упомянутой нами тайны. Затем мы перейдем к изучению показателя устойчивости, которому одно время отводили ( и, вполне возможно, снова будут отводить) важную роль в теории собственных значений в разных областях прикладной математики. После этого будет дано краткое введение в теорию Морса, которая находит применение в самых различных областях и которая во многих отношениях выходит далеко за рамки вариационного исчисления как такового. [12]