Cтраница 1
Теория несобственных интегралов с параметром, описанная в ОНА для одномерной области интегрирования, распространяется без осложнений и на многомерные области. [1]
Теория несобственных интегралов от функций со значениями в банаховом пространстве может быть построена по образцу теории несобственных интегралов от числовых функций ( гл. [2]
В теории несобственных интегралов, зависящих от параметра, важную роль играет понятие равномерной сходимости. [3]
Теория этих интегралов аналогична теории несобственных интегралов с бесконечными пределами. [4]
Этому предложению нет аналога в теории простых несобственных интегралов: мы знаем [475], что там могли существовать и неабсолютно сходящиеся интегралы. [5]
Теория несобственных кратных интегралов во многом сходна с теорией несобственных интегралов от функций одной переменной. [6]
Бесконечные ряды и введенные при их изучении понятия находят простые применения и аналогии в теории несобственных интегралов ( см. гл. [7]
Теория несобственных интегралов от функций со значениями в банаховом пространстве может быть построена по образцу теории несобственных интегралов от числовых функций ( гл. [8]
Понятие определенного интеграла было введено в § 1.7. Читателю, возможно, следует возобновить в памяти то, что говорилось там. Эта глава начинается с формального определения определенного интеграла по Риману, изучаются его свойства и выясняются условия, которым должна удовлетворять функция, чтобы она была интегрируемой; даются также дальнейшие приложения определенного интеграла, излагается теория несобственных интегралов. Уже сейчас подчеркнем, что определенный интеграл в узком ( собственном) смысле, требующий для своего определения одного предельного перехода, имеет смысл, как будет видно ниже, только для конечного отрезка и притом для ограниченных функций, непрерывных и некоторых разрывных. Для неограниченных функций риманов интеграл заведомо не существует. [9]
Понятие определенного интеграла было введено в § 1.7. Читателю, возможно, следует возобновить в памяти то, что говорилось там. Эта глава начинается с формального определения определенного интеграла по Риману, изучаются его свойства и выясняются условия, которым должна удовлетворять функция, чтобы она была интегрируемой; даются также дальнейшие приложения определенного интеграла, излагается теория несобственных интегралов. Уже сейчас подчеркнем, что определенный интеграл в узком ( собственном) смысле, требующий для своего определения одного предельного перехода, имеет смысл, как будет видно ниже, только для конечного о трезка и притом для ограниченных функций, непрерывных и некоторых разрывных. Для неограниченных функций - риманов интеграл заведомо не существует. [10]
В этой главе приводится очень короткое и изящное доказательство теоремы о локальной обратимости гладких отображений евклидовых пространств, доказательство теоремы о неявной функции, которая сопровождается интересными геометрическими приложениями. Затем приводится остроумное доказательство теоремы о замене переменных в кратном интеграле. Оно основано на локальном представлении гладкого отображения с ненулевым якобианом в виде суперпозиции нескольких отображений, оставляющих неизменными все координаты, кроме одной. Стиль книги вполне соответствует ее названию: главное внимание уделяется именно основам, а не деталям. Некоторые важные сведения ( такие, скажем, как теорема Фубини, теория несобственных интегралов и интегралов, зависящих от параметра) либо вовсе не сообщаются, либо составляют содержание упражнений. [11]