Cтраница 1
Теория дифференцируемых многообразий возникла как синтез топологии, геометрии и математического анализа. Дифференцируемые многообразия - это топологические пространства, наделенные специальной структурой, наличие которой позволяет проводить исследование как свойств самих этих пространств, так и различных объектов на них, методами математического анализа. [1]
Рассматривается применение теории дифференцируемых многообразий к лагран-жевой механике. Введение симплектической структуры на касательном расслоении конфигурационного пространства позволяет задать лагранжеву динамическую систему, соответствующую голономной склерономной механической системе как векторное поло на касательном расслоенном пространстве. Обобщение этих понятий на более сложные неголономные системы, требующее ряда дополнительных построений, составляет основное содержание статьи. [2]
В статье рассматривается применение теории дифференцируемых многообразий к лагранжевой динамике. В статье [8] автора рассмотрены необходимые математические понятия и операции. Введение фундаментальной формы на касательном расслоенном пространстве задает на нем симплектическую структуру и позволяет задать лагранжеву динамическую систему, соответствующую голономной склерономной механической системе, как векторное поле на касательном расслоенном пространстве. [3]
Одной из фундаментальных теорем теории дифференцируемых многообразий является следующая теорема. [4]
Существует тесная связь между теориями вещественных аналитических и дифференцируемых многообразий, а также между теориями вещественных и комплексных аналитич. [5]
Мы предполагаем известными основные понятия теории дифференцируемых многообразий. Однако во избежание недоразумений определения некоторых из них даются в тексте. [6]
В данной главе мы рассмотрим только первоначальные понятия теории дифференцируемых многообразий. [7]
В § 12 дается сводка определений и результатов из теории дифференцируемых многообразий. [8]
Автор знаком нашим читателям по переводам его книг Алгебраические числа, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, Алгебра, Введение в теорию диофантовых приближений, выпущенных издательством Мир в разные годы. Его новая книга посвящена изложению теории алгебраических кривых и абелевых многообразий как с алгебраической, так и с аналитической точек зрения. Это - мастерски написанное лаконичное введение в предмет; читателю сообщаются действительно самые важные факты. [9]
Эти действия над классами эквивалентности локально равных функции играют важную роль во многих теориях, которые будут изложены в настоящем трактате, особенно в теории дифференцируемых многообразий. В частности, в дальнейшем мы будем для функции f из & 0С8, V) обозначать через f функцию t - - 4 ( г) J, принадлежащую оК (, R) и определенную на том же множестве, что и f; особо оговорим, что в этой главе f означает функцию, а не число. [10]
Области, которые я имею в виду, - это алгебраическая теория чисел, алгебраическая геометрия, теория аналитических многообразий ( в частности, теория аналитический функций многих переменных), теория дифференцируемых многообразий и топология. Эти области имеют много точек соприкосновения с аналитической теорией чисел, группами Ли и функциональным анализом. [11]
В теории дифференцируемых многообразий, аналогично тому, как это делается в дифференциальной геометрии, можно ввести понятие о касательном векторе к гладкой кривой. [12]
Настоящая его книга вводит читателя в круг вопросов современной дифференциальной топологии, которые в последние годы вызывают активный интерес математиков самых различных специальностей. Она посвящена основам теории бесконечномерных дифференцируемых многообразий и векторных расслоений над такими многообразиями. Понятия и факты, изложенные здесь, находят применение в различных областях математики. Терминология и стиль изложения весьма современны. [13]
Так, геометрическая операция нахождения касательной к кривой линии преломляется в анализе как нахождение производной, т.е. предела отношения, в механике - как нахождение скорости, а в алгебре - как линейное отображение особого вида. Весь этот спектр значений может вновь сойтись в теории дифференцируемых многообразий и найти общее применение в теории полей тяготения. Именно геометрические интуитивные представления помогают переносить понятия из одной области математики в другую, расширяя тем самым их значение. Более того, многим разделам математики именно геометрия придает смысл и значение, так как без ее посредничества они никогда не нашли бы приложений в естествознании. Геометрические представления для этих разделов математики играют роль смысловых полей, находясь между абстрактными символами теории и конкретными вещами ее приложений. Но геометрия - это не только язык математики, но и поэзия математики, и не случайно именно геометрические задачи положили начало большинству математических дисциплин: дифференциальному, интегральному и вариационному исчислениям, функциональному анализу, гомологической алгебре и многим другим. Связанная более других частей математики со значением, геометрия в большей степени принадлежит диахроническому срезу математики. [14]
Пособие написано в соответствии с действующей программой по курсу топологии для студентов математических специальностей университетов. В нем освещены основы теории множеств и метрических пространств, начала общей топологии, элементы алгебраической топологии и теории дифференцируемых многообразий. При этом доступность и конкретность изл жения удачно сочетаются со строгостью и краткостью. [15]