Cтраница 1
Теория множителя) находит в уравнениях механики одно из своих главных применений. [1]
Теория множителей Лагранжа позволяет преобразовывать экстремальные задачи с ограничениями в задачи, имеющие меньше ограничений, но больше переменных. Мы изложим здесь фрагмент этой теории, связанный с задачами о минимуме выпуклой функции при выпуклых ограничениях. [2]
Хотя обычно теория множителей Якоби) рассматривается для дифференциального уравнения ( 1), тем не менее предполагается, что один из коэффициентов этого уравнения не обращается в нуль. [3]
Для применения теории множителя М необходимо, чтобы правая часть этого равенства была полным дифференциалом. [4]
Если воспользоваться теорией множителя Якоби, то можно показать), что для того, чтобы интегрирование системы ( 32), ( 35) можно было свести Ft квадратурам при любых начальных условиях, достаточно помимо выписанных трех первых интегралов ( 30) - ( 38) найти еще один независимый от них интеграл. [5]
Если воспользоваться теорией множителя Якоби, то можно показать1, что для того, чтобы интегрирование системы ( 32), ( 35) можно было свести к квадратурам при любых начальных условиях, достаточно помимо выписанных трех первых интегралов ( 36) - ( 38) найти еще один независимый от них интеграл. [6]
Чтобы показать приложения теории множителя, мы рассмотрим сначала случай, в котором, в отличие от всех остальных примеров, к которым относится это исследование, Xt, Yt, Z будут не только функциями от координат, но будут также содержать скорости, где таким образом М не будет постоянной. Это будет случай планеты, которая движется вокруг солнца в сопротивляющейся среде. [7]
Эта теорема является основой всей теории множителя. [8]
В своей работе [223] С. А. Чаплыгин изложил теорию приводящего множителя применительно к уравнениям в истинных координатах. Однако, уже в примере о плоском неголономном движении, иллюстрирующем теорию приводящего множителя, он использовал переменную, которая фактически является квазикоординатой. Хотя это обстоятельство не было отмечено Чаплыгиным и все обоснование теории приводящего множителя было проведено им лишь для истинных координат, примеры Чаплыгина верны. Более того, не представляет труда обобщить теорию приводящего множителя Чаплыгина на случай квазикоординат. В настоящем параграфе эта теория излагается именно в таком обобщении. [9]
Подчеркнем, что ( в отличие от теории приводящего множителя Чаплыгина) указанное сведение уравнений (7.5) к уравнениям Лаг-ранжа ( или Гамильтона) не использует замену времени. Однако роль лагранжевых координат играют компоненты угловой скорости или момента твердого тела. [10]
Свойство инвариантности является основным для практического применения теории множителя. [11]
В § 29 ( Бифункции и обобщенные выпуклые программы) теория множителей Лагранжа обобщается, а в ряде отношений и углубляется. Вводится понятие выпуклой бифункции, которое можно рассматривать как обобщение понятия линейного преобразования. Это понятие применяется для построения теории возмущений экстремальных задач. Для измерения эффекта возмущения используются обобщенные векторы Куна - Таккера. Теоремы 29.1, 29.3 и следствия из них содержат все факты, нужные в дальнейшем. [12]
Таким образом, канонические уравнения ( 20) предоставляют широкое поле для приложений теории множителя. [13]
Теория множителя находит в уравнениях динамики одно из своих главных приложений. [14]
Теория обобщенных выпуклых программ из § 29 впервые излагается в этой книге. Теория множителей Лагранжа и более общая теория двойственности из § 30 являются новыми. [15]