Cтраница 1
Теория Неванлинны учитывает, кроме исключительных значений Пикара, еще и другие исключительные значения, дефект которых не превосходит единицы, но положителен. [1]
Аналогично, использование теории Неванлинны дает результаты относительно роста функции и плотности некоторых особенностей функции, обратной к целому специальному решению. [2]
Теория Альфорса в отличие от теории Неванлинны весьма геометрическая по своему характеру, и ее методы распространяются на квазиконформные-отображения. Тем не менее мы ограничимся здесь простейшим случаем, поскольку обобщения вызывают большие осложнения, хотя и не требуют привлечения существенно новых идей. Однако даже простейшие приложения обнаруживают поразительную и до некоторой степени неожиданную связь между результатами в теории функций комплексной переменной, такими, ка к теорема Пикара, и топологией и дифференциальной геометрией поверхностей. Так, два исключительных значения, допускаемые в теореме Пикара, соответствуют числу 2, которое входит в формулу Эйлера - Пуанкаре для характеристики поверхности. [3]
Вейерштрасса и Пикара с тем, чтобы получить аналог теории Неванлинны для гауссова отображения. Первым результатом в этом направлении стала теорема Альфорса-Оссермана о том, что гауссово отображение полной неплоской минимальной поверхности не только не может быть ограниченным, но и не может принадлежать классу Неванлинны ограниченного типа. Это существенно усилило результат Вейерштрасса о том, что гауссово отображение должно быть всюду плотным, а именно: множество исключительных значений должно иметь нулевую логарифмическую емкость. [4]
Главы 1 и 2, в которых рассматриваются основные элементы теории Неванлинны, могут служить удобным введением для лиц, не желающих углубляться в теорию. [5]
Аль - форсу1) теорию, которая во многих отношениях параллельна теории Неванлинны. Основные формулы сравнимы с продифференцированными вариантами первой и второй основных теорем Неванлинны. [6]
Для мероморфных функций возможно соответствующее представление функции в виде произведения, построенного по ее нулям и полюсам, и теория Неванлинны позволила ему получить утверждения, которые даже в случае целых функций идут дальше, чем ранее известные, и по существу являются наилучшими возможными. [7]
Из этих рассмотрений видно, как для мероморфных на всей плоскости функций на основании теорем Альфорса - можно получить важнейшие результаты, касающиеся точечных значений и вытекающие из теории Неванлинны. [8]
Теория Неванлинны применима к функциям более общим, чем те, которые мероморфны на всей плоскости; в частности, она охватывает даже функции, порождающие нерегулярно исчерпываемые римановы поверхности. Зато все получаемые в этой теории результаты касаются точечных значений функции, и поэтому ни одна из рассматриваемых двух теорий ( Альфорса и Неванлинны) не содержит полностью другой. [9]
В первых четырех главах рассматривается то, что обычно называют неванлинновской теорией. Альфорсом, которая во многих отношениях параллельна теории Неванлинны. [10]
Первым из них стало исследование задачи Плато, кульминацией которого явилось решение Джесса Дугласа, отмеченное одной из первых двух медалей Филдса в 1936 г. ( Вторая медаль была присуждена Ларсу Аль-форсу за его вклад в комплексный анализ и теорию Неванлинны. [11]