Cтраница 1
Теория спектральных операторов стала развиваться совсем недавно. Поэтому связанная с нею библиография сравнительно невелика; однако она непрерывно растет. Мы укажем сейчас первоисточники большей части изложенного нами материала и попытаемся ориентировать читателя на другие работы, результаты которых имеют отношение к спектральным операторам, но не изложены нами. [1]
Кроме теории спектральных операторов, существует ряд других разделов функционального анализа, соприкасающихся с темами, рассмотренными в этой книге. Хотя мы не имеем возможности подробно входить в детали этих теорий, мы постараемся дать набросок их основных идей и представлений и проследить их взаимосвязи с теорией спектральных операторов, а также укажем литературу для дальнейшего чтения. [2]
При изложении теории спектральных операторов в третьем томе мы столкнулись с двумя не зависящими друг от друга проблемами, с которыми не встречались в первых двух томах. Мы сейчас кратко опишем их, поскольку это даст читателю представление об историческом развитии предмета третьей части, как и всего трактата в целом, покажет ему, где существующая математическая теория примыкает-к границе между известным и неизвестным, и продемонстрирует ее тесные связи с некоторыми глубокими эмпирическими результатами современной физики. Приложения к физике включают в себя не только проблемы, возникающие в таких современных теориях, как квантовая механика, теория рассеяния, квантовая теория поля и квантовомеханическая задача трех тел, но также и несамосопряженные задачи, связанные с более классическими проблемами как, например, с всевозможными явлениями диффузии, и в особенности с теорией электромагнитных волн. [3]
Общий обзор теории спектральных операторов до 1958 г. можно найти в статье Данфорда [19], где изложена история вопроса и приведены ( без доказательств) многие результаты этой книги. Коложоара [5] дал изложение теории спектральных операторов с другой точки зрения, отправляясь от разложимых операторов, изучая затем обобщенные спектральные операторы и, наконец, спектральные операторы. [4]
Для того чтобы можно было воспользоваться теорией спектральных операторов, нам необходимы две леммы. Эти леммы покажут, что предположения теоремы 5.18 выполнены в случае самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве. [5]
Значительная работа в последнее время была проделана в теории обобщенных спектральных операторов и разложимых операторов. [6]
По этим причинам задачу проверки условия ограниченности ( В) следует рассматривать как основную в применениях теории спектральных операторов. Нетрудно понять, что условие ( В) не относится к тем условиям, которые проверяются без труда. Это и не удивительно, поскольку ( В) в конечном счете сводится к утверждению о счетной аддитивности разложения единицы. Таким образом, ( В) является условием, которое приводит к безусловной сходимости разложений по собственным функциям. [7]
Помимо значительного обобщения теории, изложенной в этой книге ( далее об этом будет сказано подробнее), существует еще три типа обобщений теории спектральных операторов. Первое направление, инициатором которого является Ионеску [3], состоит в распространении теории на некоторый класс локально выпуклых пространств. [8]
С одной стороны, в самой этой теории формируются новые направления исследования, напр, теория рассеяния [41], построение теории операторов сжатия [42], метод канонического оператора Мас-лова [43], теория спектральных операторов [44] и др., а с другой стороны - исследования прикладных задач, механики, математической физики подсказывают новые пути развития этой теории. [9]
Общий обзор теории спектральных операторов до 1958 г. можно найти в статье Данфорда [19], где изложена история вопроса и приведены ( без доказательств) многие результаты этой книги. Коложоара [5] дал изложение теории спектральных операторов с другой точки зрения, отправляясь от разложимых операторов, изучая затем обобщенные спектральные операторы и, наконец, спектральные операторы. [10]
XII, XIII, XIV было показано, что для применения спектральной теории эрмитовых операторов к дифференциальным операторам ( обыкновенным и в частных производных) необходимо обобщить спектральную теорию ограниченных операторов на неограниченные эрмитовы операторы. Настоящая глава представляет собой попытку построить аналогичное обобщение теории спектральных операторов. [11]
Кроме теории спектральных операторов, существует ряд других разделов функционального анализа, соприкасающихся с темами, рассмотренными в этой книге. Хотя мы не имеем возможности подробно входить в детали этих теорий, мы постараемся дать набросок их основных идей и представлений и проследить их взаимосвязи с теорией спектральных операторов, а также укажем литературу для дальнейшего чтения. [12]
При этом также развивается теория и для операторов, которые могут быть не определены на всем пространстве. Краткий обзор этих исследований и некоторых тесно примыкающих к ним работ будет дан ниже в пункте Спектральные меры, локально выпуклые пространства и порядок. Третье ( но не совершенно отличное от предыдущих) направление представлено глубокими исследованиями Коложоары и Фойаша по теории разложимых и обобщенных спектральных операторов. [13]
Мы считали ( и считаем до сих пор), что эта теория является превосходным введением в более изящную и совершенную теорию самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Однако скоро стало очевидным, что естественные ограничения, связанные с объемом, настоящего трактата, не позволят осуществить это намерение. Исключение теории спектральных операторов из второго тома объясняется не только появлением большого числа работ, посвященных этой теме, но и нашим стремлением продемонстрировать ряд важных применений общей теории спектральных операторов, описание которых занимает несколько сотен страниц. [14]
Совсем недавно Чоу [1], используя теорему фон Неймана о приведении, обобщил теорему 10.6, доказав, что любой замкнутый спектральный оператор в гильбертовом пространстве можно разложить в прямой интеграл замкнутых неприводимых спектральных операторов. Примеры § 12 не претендуют на полноту - они не иллюстрируют все типы встречающихся ситуаций. Он также заметит, что многие результаты, сформулированные в этом и предыдущих параграфах в случае гильбертова пространства, могут быть соответствующим образом сформулированы и для пространств Lp ( RN), 1 р С - Библиография и исторические сведения о задаче Коши ( и даже о рассмотренной нами на примерах линейной задаче с начальными условиями) слишком велики по объему, чтобы приводить их здесь, тем более что мы и не пытаемся излагать теорию этой задачи, а хотим лишь проиллюстрировать ее на нескольких примерах, связанных с теорией спектральных операторов. [15]