Cтраница 1
Теория классических ортогональных полиномов излагается в гл. Эти полиномы являются наиболее простыми специальными функциями. В то же время, опираясь на формулу Редрига для классических ортогональных полиномов, легко прийти к инте-1 тральным представлениям для других специальных функций математической физики, например для функций Бесселя ( гл. [1]
Знание теории классических ортогональных полиномов необходимо для изучения их обобщений. [2]
На основе разработанного авторами простого подхода построена теория классических ортогональных полиномов дискретной переменной на равномерных и неравномерных сетках. Частными случаями изученных семейств полиномов оказываются полиномы Хана, Мейкснера, Кравчука и Шарлье ( линейная сетка), полиномы Рака и дуальные полиномы Хана ( квадратичная сетка), а также полиномы Поллачека. В компактной форме излагаются их основные свойства. [3]
В предлагаемой читателю книге впервые последовательно излагаются как теория классических ортогональных полиномов дискретной переменной, так и основные ее приложения. [4]
Позднее в препринте [79] удалось построить такое обобщение теории классических ортогональных полиномов, из которого стало ясно, что полиномы Рака и дуальные полиномы Хана являются разностными аналогами полиномов Якоби и Лагерра соответственно на квадратичной сетке. Далее, в результате обобщения работы [79] была построена общая теория классических ортогональных полиномов дискретной переменной на некоторых классах неравномерных сеток ( см. [81, 30] и гл. [5]
Существует простой прием, который позволяет включить в рассмотренную выше схему построения теории классических ортогональных полиномов дискретной переменной еще некоторые семейства полиномов. В § 3 было доказано свойство ортогональности полиномов Хана, Мейкснера, Кравчука и Шарлье на дискретном множестве точек. Если при помощи теоремы о вычетах сумму в соотношении ортогональности ( 27) записать в виде контурного интеграла, а затем распрямить контур в комплексной плоскости, то в некоторых случаях после аналитического продолжения по параметру на прямой, параллельной мнимой оси, возникает система полиномов, ортогональных относительно непрерывной меры. [6]
Рассмотренное в § 1 свойство разностных производных & пу ( х) позволяет построить теорию классических ортогональных полиномов дискретной переменной, следуя той же логической схеме, которая была принята в предыдущей главе. [7]
Мы рассмотрели классы сеток, для которых удается построить достаточно простую теорию ортогональных полиномов дискретной переменной с помощью обобщения теории классических ортогональных полиномов. Рассмотрим теперь еще один способ построения сеток для ортогональных полиномов дискретной переменной на основе формулы Дарбу-Кристоффеля. Пусть ( рп ( х) - произвольная система ортогональных полиномов, для которой свойство ортогональности определяется, либо с помощью интеграла от произведения полиномов с некоторым весом р ( л:), либо с помощью соответствующей суммы. [8]
А г / ( а) позволяет построить теорию классических ортогональных полиномов дискретной переменной, следуя логической схеме, принятой в гл. [9]
Классические ортогональные полиномы, сферические и гинергеометри-ческие функции, а также функции Бесселя рассматриваются с единой точки зрения как частные решения возникающего во многих задачах математической физики и квантовой механики дифференциального уравнения определенного типа. Для решений этого уравнения с помощью обобщения формулы Родрига найдено интегральное представление, из которого получены все основные свойства специальных функций. Построена также теория классических ортогональных полиномов дискретной переменной как на равномерных, так и неравномерных сетках, установлена их связь с коэффициентами Клебша - Гордаиа и коэффициентами Рака. Рассматриваются приложения к задачам математической физики, квантовой механики и вычислительной математики. [10]
Во втором издании удалось улучшить ряд доказательств, в частности, дать новое доказательство основной теоремы, на которую опирается все содержание книги. Некоторые параграфы написаны проще, с привлечением нового материала. Впервые в литературе дано изложение теории классических ортогональных полиномов дискретной переменной на равномерных и неравномерных сетках, рассмотрены их приложения в физике. [11]
В предлагаемой читателю книге впервые последовательно излагаются как теория классических ортогональных полиномов дискретной переменной, так и основные ее приложения. Ими разработан простой подход к построению теории классических ортогональных полиномов дискретной переменной, который позволяет с единой точки зрения изучить все эти полиномы как решения разностного уравнения гипергеометрического типа, в компактной форме получить их основные свойства. [12]
Знание теории классических ортогональных полиномов необходимо для изучения их обобщений. I дано краткое изложение основных фактов теории классических ортогональных полиномов. [13]